已知由长方体的一个顶点出发的三条棱长之和为 $1$，表面积为 $\dfrac{16}{27}$，求长方体的体积的最值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
最大值为 $\dfrac{20}{729}$，最小值为 $\dfrac{16}{729}$
【解析】
由题意，设由长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为 $x,y,z$，则\[x+y+z=1, xy+yz+zx=\dfrac{8}{27}.\]令\[
L\left(x,y,z,\lambda,\mu\right)=xyz+\lambda\left(x+y+z-1\right)+\mu\left(xy+yz+zx-\dfrac{8}{27}\right).\]对 $L$ 求一阶偏导数，并令它们都等于 $0$，得到$$\begin{split}
L_x&=yz+\mu(y+z)+\lambda=0,\\
L_y&=zx+\mu(z+x)+\lambda=0,\\
L_z&=xy+\mu(x+y)+\lambda=0,\\
L_{\lambda}&=x+y+z-1=0,\\
L_{\mu}&=xy+yz+zx-\dfrac{8}{27}=0,
\end{split}$$下略．
L\left(x,y,z,\lambda,\mu\right)=xyz+\lambda\left(x+y+z-1\right)+\mu\left(xy+yz+zx-\dfrac{8}{27}\right).\]对 $L$ 求一阶偏导数，并令它们都等于 $0$，得到$$\begin{split}
L_x&=yz+\mu(y+z)+\lambda=0,\\
L_y&=zx+\mu(z+x)+\lambda=0,\\
L_z&=xy+\mu(x+y)+\lambda=0,\\
L_{\lambda}&=x+y+z-1=0,\\
L_{\mu}&=xy+yz+zx-\dfrac{8}{27}=0,
\end{split}$$下略．
答案
解析
备注
