已知由长方体的一个顶点出发的三条棱长之和为 $1$，表面积为 $\dfrac{16}{27}$，求长方体的体积的最值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
最大值为 $\dfrac{20}{729}$，最小值为 $\dfrac{16}{729}$
【解析】
由题意，设由长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为 $x,y,z$，则\[
x+y+z=1, xy+yz+zx=\dfrac{8}{27}.\]设 $m=xyz$，则 $x,y,z$ 是关于 $t$ 的三次方程\[t^3-t^2+\dfrac{8}{27}t-m=0\]的三个实根．
令 $f(t)=t^3-t^2+\dfrac{8}{27}t-m$，求导可知，$t=\dfrac{2}{9}$ 是函数 $f(t)$ 的极大值点，$t=\dfrac{4}{9}$ 是函数 $f(t)$ 的极小值点，故\[f\left(\dfrac{4}{9}\right)\leqslant 0, f\left(\dfrac{2}{9}\right)\geqslant 0,\]解得 $\dfrac{16}{729}\leqslant m\leqslant \dfrac{20}{729}$．经检验，当且仅当三条棱长分别为 $\dfrac{2}{9},\dfrac{2}{9},\dfrac{5}{9}$ 时，长方体的体积有最大值 $\dfrac{20}{729}$；当且仅当三条棱长分别为 $\dfrac{1}{9},\dfrac{4}{9},\dfrac{4}{9}$ 时，长方体的体积有最小值 $\dfrac{16}{729}$．
x+y+z=1, xy+yz+zx=\dfrac{8}{27}.\]设 $m=xyz$，则 $x,y,z$ 是关于 $t$ 的三次方程\[t^3-t^2+\dfrac{8}{27}t-m=0\]的三个实根．
令 $f(t)=t^3-t^2+\dfrac{8}{27}t-m$，求导可知，$t=\dfrac{2}{9}$ 是函数 $f(t)$ 的极大值点，$t=\dfrac{4}{9}$ 是函数 $f(t)$ 的极小值点，故\[f\left(\dfrac{4}{9}\right)\leqslant 0, f\left(\dfrac{2}{9}\right)\geqslant 0,\]解得 $\dfrac{16}{729}\leqslant m\leqslant \dfrac{20}{729}$．经检验，当且仅当三条棱长分别为 $\dfrac{2}{9},\dfrac{2}{9},\dfrac{5}{9}$ 时，长方体的体积有最大值 $\dfrac{20}{729}$；当且仅当三条棱长分别为 $\dfrac{1}{9},\dfrac{4}{9},\dfrac{4}{9}$ 时，长方体的体积有最小值 $\dfrac{16}{729}$．
答案
解析
备注
