已知函数 $f(x)=ax^2-4\ln{(x-1)}, a\in \mathbb{R} $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；标注答案单调递增区间为 $\left(2,+\infty\right) $，单调递减区间为 $(1,2)$解析当 $a=1$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(2,+\infty\right) $，单调递减区间为 $(1,2)$．
-
已知点 $P(1,1)$ 和函数 $f(x)$ 图象上的动点 $M \left(m,f(m)\right)$，对任意 $m\in \left[2,\mathrm{e} +1\right]$，直线 $PM$ 的倾斜角都是钝角，求 $a$ 的取值范围．标注答案$\left(-\infty,\dfrac{1}{4} \right) $解析令 $t=x-1$，由题意，当 $1 \leqslant t \leqslant \mathrm{e} $ 时，$$a< \dfrac{1+4\ln{t}}{\left(t+1\right)^2 } $$恒成立．
令 $g(t)= \dfrac{1+4\ln{t}}{\left(t+1\right)^2 }$，则$$g'(t)=\dfrac{2 \left(t+2-4t\ln{t}\right) }{t\left(t+1\right)^3 }. $$令 $h(t)=t+2-4t\ln{t}, 1 \leqslant t \leqslant \mathrm{e}$，则$$h'(t)=-3-4\ln{t}<0,$$所以 $h(t)$ 在 $\left[1,\mathrm{e} \right]$ 上单调递减．由于$$h(1)=3>0, h(\mathrm{e} )=2-3\mathrm{e} <0,$$故 $h(t)$ 在 $\left(1,\mathrm{e} \right)$ 内有唯一实根，记为 $t_0$，则 $g(t)$ 在 $\left[2,t_0\right]$ 上单调递增，在 $\left[t_0,\mathrm{e} \right]$ 上单调递减．故$$\begin{cases}a<g(1)=\dfrac{1}{4},\\a<g(\mathrm{e} )=\dfrac{5}{\left(\mathrm{e} +1\right)^2 }. \end{cases}$$由于 $\dfrac{1}{4}< \dfrac{5}{\left(\mathrm{e} +1\right)^2 }$，所以 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac{1}{4} \right) $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
