设 $M$ 为 $n$ 元集，若 $M$ 有 $k$ 个不同的子集 $A_1,A_2,\cdots ,A_k$，满足：对于每个 $i,j\in\{1,2,\cdots ,k\}$，$A_i\cap A_j\ne \varnothing $，求正整数 $k$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
再证：对于 $M$ 的任何 $2^{n-1}+1$ 个子集，其中必有两个子集不相交．
设 $B_1,B_2,\cdots ,B_{2^{n-1}}$ 是 $M$ 的 $2^{n-1}$ 个不同的子集，其中每个皆含 $a_n$；用 $\bar{B_i}$ 表示子集 $B_i$ 在 $M$ 中的补集，$\bar{B_i}=M B_i$，$i=1,2,\cdots ,2^{n-1}$，则对于任意 $i\ne j$，$B_i\ne B_j$，$\bar{B_i}\ne \bar{B_j}$，并且 $B_i\ne \bar{B_j}$（因前者含 $a_n$ 而后者不含），故 $B_1,B_2,\cdots ,B_{2^{n-1}},\bar{B_1},\bar{B_2},\cdots ,\bar{B_{2^{n-1}}}$ 为 $M$ 的全部 $2^n$ 个不同子集，先将上述集合搭配成为 $2^{n-1}$ 对：$\left(B_1,\bar{B_1}\right),\left(B_2,\bar{B_2}\right),\cdots ,\left(B_{2^{n-1}},\bar{B_{2^{n-1}}}\right)$．任取 $M$ 的 $2^{n-1}+1$ 个子集，必有两个子集属于同一对，则这两个子集不相交
设 $B_1,B_2,\cdots ,B_{2^{n-1}}$ 是 $M$ 的 $2^{n-1}$ 个不同的子集，其中每个皆含 $a_n$；用 $\bar{B_i}$ 表示子集 $B_i$ 在 $M$ 中的补集，$\bar{B_i}=M B_i$，$i=1,2,\cdots ,2^{n-1}$，则对于任意 $i\ne j$，$B_i\ne B_j$，$\bar{B_i}\ne \bar{B_j}$，并且 $B_i\ne \bar{B_j}$（因前者含 $a_n$ 而后者不含），故 $B_1,B_2,\cdots ,B_{2^{n-1}},\bar{B_1},\bar{B_2},\cdots ,\bar{B_{2^{n-1}}}$ 为 $M$ 的全部 $2^n$ 个不同子集，先将上述集合搭配成为 $2^{n-1}$ 对：$\left(B_1,\bar{B_1}\right),\left(B_2,\bar{B_2}\right),\cdots ,\left(B_{2^{n-1}},\bar{B_{2^{n-1}}}\right)$．任取 $M$ 的 $2^{n-1}+1$ 个子集，必有两个子集属于同一对，则这两个子集不相交
【解析】
略
答案
解析
备注
