求满足下列条件的所有正整数 $x,y$：① $x$ 与 $y-1$ 互素；② $x^2-x+1=y^3$．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛江苏省复赛（二试）
【标注】
【答案】
$(1,1),(19,7)$
【解析】
显然 $x=1$，$y=1$ 满足要求．
对于 $x>1$，$y>1$，方程可化为$$(y-1)(y^2+y+1)=x(x-1),$$显然 $x>y$．
因为 $(x,y-1)=1$，故 $x$ 一定是 $y^2+y+1$ 的一个因子．
设 $y^2+y+1=kx$（$k$ 为正整数），从而$$x-1=k(y-1).$$由 $x>y$ 可知 $k\geqslant 2$，消去 $x$，得$$y^2+y+1=k^2(y-1)+k,$$即$$(y^2-1)+(y-1)=k^2(y-1)+k-3,$$由此推得$$y-1 | (k-3).$$若 $k>3$，则$$y-1\leqslant k-3,$$即$$k\geqslant y+2,$$从而$$k^2(y-1)+k=y^2+y+1<k^2+(k-2)+1,$$故必有 $y-1=0$，矛盾．
因此 $k\leqslant 3$，从而 $k=2,3$，验证知 $y=7$，$x=19$．
综上，$(x,y)=(1,1),(19,7)$．
对于 $x>1$，$y>1$，方程可化为$$(y-1)(y^2+y+1)=x(x-1),$$显然 $x>y$．
因为 $(x,y-1)=1$，故 $x$ 一定是 $y^2+y+1$ 的一个因子．
设 $y^2+y+1=kx$（$k$ 为正整数），从而$$x-1=k(y-1).$$由 $x>y$ 可知 $k\geqslant 2$，消去 $x$，得$$y^2+y+1=k^2(y-1)+k,$$即$$(y^2-1)+(y-1)=k^2(y-1)+k-3,$$由此推得$$y-1 | (k-3).$$若 $k>3$，则$$y-1\leqslant k-3,$$即$$k\geqslant y+2,$$从而$$k^2(y-1)+k=y^2+y+1<k^2+(k-2)+1,$$故必有 $y-1=0$，矛盾．
因此 $k\leqslant 3$，从而 $k=2,3$，验证知 $y=7$，$x=19$．
综上，$(x,y)=(1,1),(19,7)$．
答案
解析
备注
