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已知平面内三点 $A,B,C$ 满足 $\left|\overrightarrow{AB}\right|=3$，$\left|\overrightarrow{BC}\right|=5$，$\left|\overrightarrow{CA}\right|=6$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB}$ 的值为  \((\qquad)\)
A: $-55$
B: $-45$
C: $-35$
D: $-25$
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的线性表示
    >
    向量的换底公式
【答案】
C
【解析】
由条件知 $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{BC}$，记原式为 $m$，则\[\begin{split}m&=\overrightarrow{BC}\cdot \left(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right) -\left(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right)\cdot \overrightarrow{BA}\\
&=-BC^2-BA^2\\
&=-25.\end{split}\]
题目 答案 解析 备注
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