圆内接四边形 $ABCD$ 的一条对角线将一对对角分成四个角 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$．求证：$$\sin(\alpha_1+\alpha_2)\sin(\alpha_2+\alpha_3)\sin(\alpha_3+\alpha_4)\sin(\alpha_4+\alpha_1)\geqslant 4\sin{\alpha_1}\sin{\alpha_2}\sin{\alpha_3}\sin{\alpha_4}.$$
【难度】
【出处】
2009年湖南省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
由正弦定理可得\[\begin{split}&AC=2R\sin(\alpha_4+\alpha_1)=2R\sin(\alpha_2+\alpha_3),\\ &BD=2R\sin(\alpha_1+\alpha_2)=2R\sin(\alpha_3+\alpha_4),\\&AB=2R\sin \alpha_3 ,BC=2R\sin \alpha_2,\\&CD=2R\sin \alpha_1 ,DA=2R\sin \alpha_4,\end{split}\]故原不等式等价于$$AC^2\cdot BD^2\geqslant 4AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA\cdots \text{ ① }$$由托勒密定理，得$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD,$$所以$$AC\cdot BD\geqslant 2\sqrt{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA},$$即$$AC^2\cdot BD^2\geqslant 4AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA,$$故 ① 式获证，即原不等式获证．
答案
解析
备注
