题目 设函数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$． 问题1 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程； 答案1 $y=bx+c$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=3x^2+2ax+b,$$于是 $f(0)=c$，$f'(0)=b$，因此曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程为 $y=bx+c$． 备注1 问题2 设 $a=b=4$，若函数 $f(x)$ 有三个不同零点，求 $c$ 的取值范围； 答案2 $\left(0,\dfrac{32}{27}\right)$ 解析2 函数 $f(x)$ 的零点即方程 $x^3+4x^2+4x=-c$ 的实数根，令 $g(x)=x^3+4x^2+4x$，则其导函数$$g'(x)=3x^2+8x+4=(3x+2)(x+2),$$于是函数 $g(x)$ 在 $(-\infty,-2)$ 上单调递增，在 $\left(-2,-\dfrac 23\right)$ 上单调递减，在 $\left(-\dfrac 23,+\infty\right)$ 上单调递增，其极大值为 $g(-2)=0$，极小值为 $g\left(-\dfrac 23\right)=-\dfrac{32}{27}$．<br/>依题意，函数 $y=g(x)$ 与 $y=-c$ 有三个不同的公共点，因此$$-\dfrac{32}{27}<-c<0,{ \text{解得} }0<c<\dfrac{32}{27},$$因此 $c$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{32}{27}\right)$． 备注2 问题3 求证：$a^2-3b>0$ 是 $f(x)$ 有三个不同零点的必要而不充分条件． 答案3 略 解析3 分两步证明．<br/><sol>必要性</sol> 若连续函数 $f(x)$ 有三个不同零点，那么 $f(x)$ 的单调性必然变化至少 $2$ 次，因此其导函数必然有 $2$ 个不同的零点，从而 $f'(x)$ 的判别式$$\Delta=4(a^2-3b)>0,$$从而 $a^2-3b>0$．<br/><sol>非充分性</sol> 取 $a=0$，$b=-3$，$c=3$，则函数 $f(x)=x^3-3x+3$，其导函数$$f'(x)=3(x+1)(x-1),$$于是其极大值为 $f(-1)=5$，其极小值为 $f(1)=1$，此时函数 $f(x)$ 只有 $1$ 个零点．<br/>综上所述，$a^2-3b>0$ 是 $f(x)$ 有三个不同零点的必要而不充分条件． 备注3