利用微积分推导折射定律与反射定律．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，一束光线从 $A$ 点经过镜面 $l$ 反射后到达 $B$ 点．根据反射定律，在发生反射的位置 $M$ 将有 $\theta_1$ 与 $\theta_2$ 相等．习惯上我们将镜面 $l$ 在 $M$ 处的垂线称为镜面在 $l$ 处的法线，入射光线 $AM$ 与反射光线 $MB$ 与法线所成的角 $\theta_1$ 与 $\theta_2$ 分别称为入射角和反射角．下面通过光路最短原理证明反射定律，并希望通过这个例子说明微分工具在处理复杂函数的极值问题时所发挥的强大作用．
为了精确的描述 $A,B$ 的位置，我们设 $A,B$ 到镜面的距离分别为 $a,b$，而 $A,B$ 之间的水平距离则记为 $X$．于是光在 $A\rightarrow M\rightarrow B$ 的过程中所消耗的时间为：$$T=\dfrac {|AM|+|MB|}c=\dfrac 1c\left(\dfrac a{\cos \theta_1}+\dfrac b{\cos \theta_2}\right),$$而 $\theta_1,\theta_2$ 受到关系式$$a\tan\theta_1+b\tan\theta_2=X$$的制约．
为了研究 $T$ 何时极小，我们求 $T$ 关于 $\theta_1$ 的导数：$$\dfrac {{ {\rm d}} T}{{ {\rm d}} \theta_1}=\left[\dfrac 1c\left(\dfrac a{\cos \theta_1}+\dfrac b{\cos \theta_2}\right)\right]'=\dfrac 1c\left(\dfrac {a\sin \theta_1}{\cos^2\theta_1}+\dfrac {b\sin \theta_2}{\cos^2\theta_2}\cdot \dfrac {{ {\rm d}} \theta_2}{{ {\rm d}} \theta_1}\right),$$为了求出 $\dfrac {{ {\rm d}} \theta_2}{{ {\rm d}} \theta_1}$，我们对关系式 ① 应用隐函数求导的方法：$${ {\rm d}} (a\tan \theta_1)+{ {\rm d}} (b\tan \theta_2)=0,$$即$$\dfrac a{\cos^2\theta_1}{ {\rm d}} \theta_1+\dfrac b{\cos^2\theta_2}{ {\rm d}} \theta_2=0,$$从而$$\dfrac {{ {\rm d}} \theta_2}{{ {\rm d}} \theta_1}=-\dfrac {a\cos^2\theta_2}{b\cos^2\theta_1},$$代入，有$$\dfrac {{ {\rm d}} T}{{ {\rm d}} \theta_1}=\dfrac 1c\left[\dfrac {a\sin \theta}{\cos^2\theta_1}+\dfrac {b\sin \theta_2}{\cos^2\theta_2}\cdot \left(-\dfrac {a\cos^2\theta_2}{b\cos^2\theta_1}\right)\right]=\dfrac a{c\cos^2\theta_1}(\sin \theta_1-\sin \theta_2).$$于是当 $\theta_1=\theta_2$ 时 $T$ 取得最小值，这就证明了反射定律的正确性．
对于折射定律，如图，应当有 $\dfrac {\sin \theta_1}{\sin \theta_2}=\dfrac {n_2}{n_1}$ 成立．
折射情形与反射情形唯一的差异在于，$T$ 的计算需要根据折射率（某一介质中的折射率为真空中的光速与在该介质中光速的比，也即 $n=\dfrac cv$）加以修正：$$T=\dfrac {|AM|}{\dfrac c{n_1}}+\dfrac {|BM|}{\dfrac c{n_2}}=\dfrac 1c\left(\dfrac {an_1}{\cos \theta_1}+\dfrac {bn_2}{\cos \theta_2}\right),$$分析方法与计算过程与上面基本相同，最后得到$$\dfrac {{ {\rm d}} T}{{ {\rm d}} \theta_1}=\dfrac a{c\cos^2\theta_1}\left(n_1\sin \theta_1-n_2\sin \theta_2\right),$$于是当 $n_1\sin \theta_1-n_2\sin \theta_2=0$，也即 $\dfrac {\sin \theta_1}{\sin \theta_2}=\dfrac {n_2}{n_1}$ 时，$T$ 取极小值．这也就证明了折射定律的正确性．
为了精确的描述 $A,B$ 的位置，我们设 $A,B$ 到镜面的距离分别为 $a,b$，而 $A,B$ 之间的水平距离则记为 $X$．于是光在 $A\rightarrow M\rightarrow B$ 的过程中所消耗的时间为：$$T=\dfrac {|AM|+|MB|}c=\dfrac 1c\left(\dfrac a{\cos \theta_1}+\dfrac b{\cos \theta_2}\right),$$而 $\theta_1,\theta_2$ 受到关系式$$a\tan\theta_1+b\tan\theta_2=X$$的制约．为了研究 $T$ 何时极小，我们求 $T$ 关于 $\theta_1$ 的导数：$$\dfrac {{ {\rm d}} T}{{ {\rm d}} \theta_1}=\left[\dfrac 1c\left(\dfrac a{\cos \theta_1}+\dfrac b{\cos \theta_2}\right)\right]'=\dfrac 1c\left(\dfrac {a\sin \theta_1}{\cos^2\theta_1}+\dfrac {b\sin \theta_2}{\cos^2\theta_2}\cdot \dfrac {{ {\rm d}} \theta_2}{{ {\rm d}} \theta_1}\right),$$为了求出 $\dfrac {{ {\rm d}} \theta_2}{{ {\rm d}} \theta_1}$，我们对关系式 ① 应用隐函数求导的方法：$${ {\rm d}} (a\tan \theta_1)+{ {\rm d}} (b\tan \theta_2)=0,$$即$$\dfrac a{\cos^2\theta_1}{ {\rm d}} \theta_1+\dfrac b{\cos^2\theta_2}{ {\rm d}} \theta_2=0,$$从而$$\dfrac {{ {\rm d}} \theta_2}{{ {\rm d}} \theta_1}=-\dfrac {a\cos^2\theta_2}{b\cos^2\theta_1},$$代入，有$$\dfrac {{ {\rm d}} T}{{ {\rm d}} \theta_1}=\dfrac 1c\left[\dfrac {a\sin \theta}{\cos^2\theta_1}+\dfrac {b\sin \theta_2}{\cos^2\theta_2}\cdot \left(-\dfrac {a\cos^2\theta_2}{b\cos^2\theta_1}\right)\right]=\dfrac a{c\cos^2\theta_1}(\sin \theta_1-\sin \theta_2).$$于是当 $\theta_1=\theta_2$ 时 $T$ 取得最小值，这就证明了反射定律的正确性．
对于折射定律，如图，应当有 $\dfrac {\sin \theta_1}{\sin \theta_2}=\dfrac {n_2}{n_1}$ 成立．
折射情形与反射情形唯一的差异在于，$T$ 的计算需要根据折射率（某一介质中的折射率为真空中的光速与在该介质中光速的比，也即 $n=\dfrac cv$）加以修正：$$T=\dfrac {|AM|}{\dfrac c{n_1}}+\dfrac {|BM|}{\dfrac c{n_2}}=\dfrac 1c\left(\dfrac {an_1}{\cos \theta_1}+\dfrac {bn_2}{\cos \theta_2}\right),$$分析方法与计算过程与上面基本相同，最后得到$$\dfrac {{ {\rm d}} T}{{ {\rm d}} \theta_1}=\dfrac a{c\cos^2\theta_1}\left(n_1\sin \theta_1-n_2\sin \theta_2\right),$$于是当 $n_1\sin \theta_1-n_2\sin \theta_2=0$，也即 $\dfrac {\sin \theta_1}{\sin \theta_2}=\dfrac {n_2}{n_1}$ 时，$T$ 取极小值．这也就证明了折射定律的正确性．
答案
解析
备注
