利用微积分推导正弦型交流电的有效值公式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
正弦型交流电 $i(t)=A\sin (\omega t+\varphi)$ 的电流有效值 $I=\dfrac A{\sqrt 2}$，这是由于交流电 $i(t)$ 在一个周期内做的功与大小为 $\dfrac A{\sqrt 2}$ 的直流电在相同时间内做的功相当．
我们知道，电流 $i(t)$ 的瞬时功率为 $p(t)=i^2(t)\cdot r$，而其在一段时间 $[t_1,t_2]$ 内所做的功 $w$ 由定积分$$w=\int_{t_1}^{t_2}p(t){ {\rm d}} t$$求出．
考虑正弦型交流电 $i(t)$ 在一个周期内所做的功$$w=\int_0^{\frac {2\pi}{\omega}}[A\sin (\omega t+\varphi)]^2r{ {\rm d}} t,$$计算这个定积分需要得到函数$$f(t)=\sin^2(\omega t+\varphi)=\dfrac 12-\dfrac 12\cos (2\omega t+2\varphi)$$的原函数．
事实上，可以由正弦函数的导数为余弦函数逐步变形得到 $f(t)$ 的原函数：\[\begin{split}(\sin t)'=-\cos t&\Rightarrow (\sin (2\omega t+2\varphi))'=2\omega \cos (2\omega t+2\varphi)\\&\Rightarrow \left(-\dfrac 1{4\omega}\sin (2\omega t+2\varphi)\right)'=-\dfrac 12\cos (2\omega t+2\varphi)\\&\Rightarrow \left(\dfrac 12i-\dfrac 1{4\omega}\sin (2\omega t+2\varphi)\right)'=\dfrac 12-\dfrac 12\cos (2\omega t+2\varphi),\end{split}\]因此\[ \begin{split}w=&\int_0^{\frac {2{\mathrm \pi} }{\omega}}[A\sin (\omega t+\varphi)]^2r{ {\rm d}} t\\= &A^2r\cdot \left(\dfrac 12i-\dfrac 1{4\omega}\sin (2\omega t+2\varphi)\right)
\left| \right._0^{\frac{2{\mathrm \pi} }{\omega}}\\=&\dfrac 12\cdot A^2r\cdot \dfrac {2{\mathrm \pi} }{\omega}=\left(\dfrac A{\sqrt 2}\right)^2\cdot r\cdot \dfrac {2{\mathrm \pi} }{\omega},\end{split} \]这就证明了交流电 $i(t)$ 在一个周期内做的功与大小为 $\dfrac A{\sqrt 2}$ 的直流电在相同时间内做的功相当，也就是说其有效值为峰值的 $\dfrac 1{\sqrt 2}$．
我们知道，电流 $i(t)$ 的瞬时功率为 $p(t)=i^2(t)\cdot r$，而其在一段时间 $[t_1,t_2]$ 内所做的功 $w$ 由定积分$$w=\int_{t_1}^{t_2}p(t){ {\rm d}} t$$求出．
考虑正弦型交流电 $i(t)$ 在一个周期内所做的功$$w=\int_0^{\frac {2\pi}{\omega}}[A\sin (\omega t+\varphi)]^2r{ {\rm d}} t,$$计算这个定积分需要得到函数$$f(t)=\sin^2(\omega t+\varphi)=\dfrac 12-\dfrac 12\cos (2\omega t+2\varphi)$$的原函数．
事实上，可以由正弦函数的导数为余弦函数逐步变形得到 $f(t)$ 的原函数：\[\begin{split}(\sin t)'=-\cos t&\Rightarrow (\sin (2\omega t+2\varphi))'=2\omega \cos (2\omega t+2\varphi)\\&\Rightarrow \left(-\dfrac 1{4\omega}\sin (2\omega t+2\varphi)\right)'=-\dfrac 12\cos (2\omega t+2\varphi)\\&\Rightarrow \left(\dfrac 12i-\dfrac 1{4\omega}\sin (2\omega t+2\varphi)\right)'=\dfrac 12-\dfrac 12\cos (2\omega t+2\varphi),\end{split}\]因此\[ \begin{split}w=&\int_0^{\frac {2{\mathrm \pi} }{\omega}}[A\sin (\omega t+\varphi)]^2r{ {\rm d}} t\\= &A^2r\cdot \left(\dfrac 12i-\dfrac 1{4\omega}\sin (2\omega t+2\varphi)\right)
\left| \right._0^{\frac{2{\mathrm \pi} }{\omega}}\\=&\dfrac 12\cdot A^2r\cdot \dfrac {2{\mathrm \pi} }{\omega}=\left(\dfrac A{\sqrt 2}\right)^2\cdot r\cdot \dfrac {2{\mathrm \pi} }{\omega},\end{split} \]这就证明了交流电 $i(t)$ 在一个周期内做的功与大小为 $\dfrac A{\sqrt 2}$ 的直流电在相同时间内做的功相当，也就是说其有效值为峰值的 $\dfrac 1{\sqrt 2}$．
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