已知函数 $y=\ln x-(ax+b)$ 有两个不同的零点 $x_1,x_2$，求证：$\dfrac{{\rm e}^{1+b}}{a}<x_1x_2<\dfrac{1}{a^2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于 $\ln x_1=ax_1+b$，$\ln x_2=ax_2+b$，于是$$a=\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}<\dfrac{1}{\sqrt{x_1x_2}},$$即 $x_1x_2<\dfrac{1}{a^2}$，右侧不等式得证．
另一方面，左侧不等式即$$\ln x_1+\ln x_2>1+b-\ln a, \text{也即} a(x_1+x_2)>1-b-\ln a.$$由于函数的 $y=\ln x-(ax+b)$ 的极大值点为 $x=\dfrac 1a$，因此不妨设 $0<x_1<\dfrac 1a<x_2$．由对数平均不等式可得$$\dfrac{\ln x_1-\ln\dfrac 1a}{x_1-\dfrac 1a}>\dfrac{2}{x_1+\dfrac 1a},\dfrac{\ln x_2-\ln\dfrac 1a}{x_2-\dfrac 1a}>\dfrac{2}{x_2+\dfrac 1a},$$即$$(ax_1+b+\ln a)\left(x_1+\dfrac 1a\right)<2\left(x_1-\dfrac 1a\right),(ax_2+b+\ln a)\left(x_2+\dfrac 1a\right)>2\left(x_2-\dfrac 1a\right),$$两式相减可得$$a(x_1^2-x_2^2)+(b+\ln a+1)(x_1-x_2)<2(x_1-x_2),$$也即$$a(x_1+x_2)+b+\ln a+1>2,$$原命题得证．
另一方面，左侧不等式即$$\ln x_1+\ln x_2>1+b-\ln a, \text{也即} a(x_1+x_2)>1-b-\ln a.$$由于函数的 $y=\ln x-(ax+b)$ 的极大值点为 $x=\dfrac 1a$，因此不妨设 $0<x_1<\dfrac 1a<x_2$．由对数平均不等式可得$$\dfrac{\ln x_1-\ln\dfrac 1a}{x_1-\dfrac 1a}>\dfrac{2}{x_1+\dfrac 1a},\dfrac{\ln x_2-\ln\dfrac 1a}{x_2-\dfrac 1a}>\dfrac{2}{x_2+\dfrac 1a},$$即$$(ax_1+b+\ln a)\left(x_1+\dfrac 1a\right)<2\left(x_1-\dfrac 1a\right),(ax_2+b+\ln a)\left(x_2+\dfrac 1a\right)>2\left(x_2-\dfrac 1a\right),$$两式相减可得$$a(x_1^2-x_2^2)+(b+\ln a+1)(x_1-x_2)<2(x_1-x_2),$$也即$$a(x_1+x_2)+b+\ln a+1>2,$$原命题得证．
答案
解析
备注
