已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{7}=a_{6}+2a_{5}$，若存在两项 $a_{n}$、$a_{m}$ 使得 $\sqrt{a_{m}a_{n}}=4a_{1}$，则 $\dfrac{1}{m}+\dfrac{4}{n}$ 的最小值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
由 $a_7=a_6+2a_5$，得$$q^2=q+2,$$因为 $q>0$，所以 $q=2$．又因为 $\sqrt{a_ma_n}=4a_1$，所以$$16a_1^2=a_ma_n=a_1q^{m-1}\cdot a_1q^{n-1}.$$因此$$16=2^{m+n-2}=2^4,$$可知$$m+n=6,$$所以\[\begin{split}\dfrac{1}{m}+\dfrac{4}{n}&=\dfrac16\left(\dfrac1m+\dfrac4n\right)(m+n)\\&=\dfrac16\left(5+\dfrac{n}{m}+\dfrac{4m}{n}\right)\\&\geqslant\dfrac32,\end{split}\]当且仅当 $m=2,n=4$ 时，等号成立．因此 $\dfrac1m+\dfrac4n$ 的最小值为 $\dfrac32$．
题目
答案
解析
备注
