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已知 $0<x_1<x_2$ 且 $x_1+x_2=6$，$f(x)=\dfrac{x^3}{{\rm e}^x}$，求证：$f(x_1)<f(x_2)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
对数平均不等式只需要证明 $\ln f(x_1)< \ln f(x_2)$，即$$3\ln x_1-x_1<3\ln x_2-x_2, \text{即} \dfrac{x_2-x_1}{\ln x_2-\ln x_1}<3,$$根据对数平均不等式\ref{对数平均不等式}，有$$\dfrac{x_2-x_1}{\ln x_2-\ln x_1}<\dfrac{x_1+x_2}2=3,$$因此原命题得证．
对称化方法设 $g(x)=3\ln x-x$，则其导函数$$g'(x)=\dfrac 3x-1,$$$h(x)=g(x)-g(6-x)$，则其导函数$$h'(x)=g'(x)+g'(6-x)=\dfrac 3x+\dfrac 3{6-x}-2\geqslant \dfrac{(\sqrt 3+\sqrt 3)^2}{x+(6-x)}-2=0,$$其中用到柯西不等式．因此 $h(x)$ 单调递增，结合 $h(3)=0$，因此有当 $x\in (0,3)$ 时，$g(x)<g(6-x)$，原命题得证．
答案 解析 备注
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