四面体 $ABCD$ 中，$AB=CD,AC=BD,AD=BC$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；标注答案略解析根据题意，如图，设 $AB=CD=x,AC=BD=y,AD=BC=z$，则因为 $\triangle ABC\cong\triangle DCB\cong\triangle BAD\cong\triangle CAD$，而$$\angle ACD+\angle ACB>\angle BCD,$$即 $\angle BAC+\angle ACB+\angle CBA$，类似的，也有$$\angle BAC+\angle CBA>\angle ACB,$$于是 $\triangle ACB$ 为锐角三角形，因此四面体的每个面的三角形均为锐角三角形．
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设三个面与底面 $BCD$ 所成的角分别为 $\alpha,\beta,\gamma$，求证：$\cos\alpha+\cos\beta\cos\gamma=1$．标注答案略解析作 $AO\perp\text{面} BCD$ 于点 $O$，则根据摄影定理，有$$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=\dfrac{S_{\triangle OBC}}{S_{\triangle ABC}}+\dfrac{S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle ABD}}+\dfrac{S_{\triangle OCD}}{S_{\triangle ACD}}=1.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
