数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{1}=0$，$x_{n+1}=-x_{n}^{2}+x_{n}+c(n\in\mathbb{N}^{*})$．
【难度】
【出处】
2012年高考安徽卷（理）
【标注】
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证明：$\{x_{n}\}$ 是递减数列的充分必要条件是 $c<0$；标注答案略解析
充分性的证明 $c<0$ 时，$$\Delta x_{n}=x_{n+1}-x_{n}=-x_{n}^{2}+c<0,$$所以数列 $\{x_{n}\}$ 是递减数列；必要性的证明 $x_{1}=0$，$x_{2}=c$，$\{x_{n}\}$ 递减时，一定有 $c<0$．
综上所述，原命题得证． -
求 $c$ 的取值范围，使 $\{x_{n}\}$ 是递增数列．标注答案$\left(0,\dfrac 14\right]$解析不难证明 $0<c<1$．
考虑到函数 $f(x)=-x^{2}+x+c$ 的对称轴为 $x=\dfrac 12$，不动点为 $\pm\sqrt{c}$，因此有两种情形：
情形一 $\sqrt{c}\leqslant \dfrac{1}{2}$．此时函数图象如左图，容易证明 $x_{n}\in\big[-\sqrt{c},\sqrt{c} \big]$，于是 $f(x_{n})>x_{n}$，即 $x_{n+1}>x_{n}$，即数列 $\{x_{n}\}$ 单调递增．情形二 $\sqrt{c}>\dfrac{1}{2}$．此时函数图象如右图，此时 $\{x_{n}\}$ 应为摆动数列，考虑用反证法．
只需要证明数列中存在某项 $x_{k}>\dfrac 12$ 即可．这是因为，若 $x_k\in\left(\dfrac{1}{2},\sqrt{c}\right)$，则 $x_{k+1}>\sqrt c$，$x_{k+2}<\sqrt{c}$；若 $x_k>\sqrt c$，则 $x_{k+1}<\sqrt c$，均与数列 $\{x_n\}$ 单调递增矛盾．
也就是说只需要证明若 $\{x_{n}\}$ 单调递增，则 $\{x_{n}\}$ 的极限为 $\sqrt c$，就可以推出矛盾．
事实上，$$\sqrt c-x_{n+1}<\left(\sqrt c-x_{n}\right)\left(1-\sqrt c-x_{n}\right)<\left(1-\sqrt c\right)\left(\sqrt c-x_{n}\right),$$于是$$\sqrt c-x_{n+1}<\left(1-\sqrt c\right)^{n}\left(\sqrt c-x_{1}\right)=\sqrt c\left(1-\sqrt c\right)^{n},$$因此 $\{x_{n}\}$ 的极限为 $\sqrt c$，从而必然存在某项 $x_k>\dfrac 12$．
综上所述，$c$ 的取值范围为 $\left(0,\dfrac 14\right]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
