题目 已知 $a\geqslant 3$，函数 $F(x)=\min\{2|x-1|,x^2-2ax+4a-2\}$，其中 $\min\{p,q\}=\begin{cases}p,p\leqslant q,\\ q,p>q. \end{cases}$ 问题1 求使得等式 $F(x)=x^2-2ax+4a-2$ 成立的 $x$ 的取值范围； 答案1 $x$ 的取值范围是 $[2,2a]$ 解析1 根据题意，有 $x^2-2ax+4a-2\leqslant 2|x-1|$．<br/><case>情形一</case> $x\geqslant 1$．此时不等式等价于 $x^2-(2a+2)x+4a\leqslant 0$，即$$(x-2)(x-2a)\leqslant 0, \text{解得} 2\leqslant x\leqslant 2a.$$<case>情形二</case> $x<1$．此时不等式等价于$$x^2+(2-2a)x+4a-4\leqslant 0,$$考虑到左侧函数的对称轴为 $x=a-1$，又该函数在 $x=1$ 处的函数值为 $2a-1>0$，此时无解．<br/>综上所述，$x$ 的取值范围是 $[2,2a]$． 备注1 问题2 （i）求 $F(x)$ 的最小值 $m(a)$；<br/>（ii）求 $F(x)$ 在 $[0,6]$ 上的最大值 $M(a)$． 答案2 （i）$$m(a)=\begin{cases} 0,& a\in\left[3,2+\sqrt 2\right],\\ -a^2+4a-2,&a\in (2+\sqrt 2,+\infty).\end{cases} $$（ii）$$M(a)=\begin{cases} 34-8a,&a\in [3,4],\\ 2,& a\in (4,+\infty).\end{cases} $$ 解析2 （i）根据第（1）小题的结论，我们有$$F(x)=\begin{cases} x^2-2ax+4a-2,&x\in [2,2a],\\ 2|x-1|,& x\in (-\infty, 2)\cup(2a,+\infty),\end{cases} $$该函数在第一段上的最小值 $m_1(a)=-a^2+4a-2$（$a\geqslant 3$），在第二段上的最小值 $m_2=0$．由于函数 $m_1(a)$ 在 $a\in [3,+\infty)$ 上的零点为 $a=2+\sqrt 2$，于是$$m(a)=\begin{cases} 0,& a\in\left[3,2+\sqrt 2\right],\\ -a^2+4a-2,&a\in (2+\sqrt 2,+\infty).\end{cases} $$（ii）由于 $y=x^2-2ax+4a-2$ 的对称轴为 $x=a$，于是在 $x\in[2,6]$ 上，函数 $y=x^2-2ax+4a-2$ 或者递减，或者先递减再递增，因此最大值必然在区间端点处取得，从而 $F(x)$ 在 $[2,6]$ 上的最大值$$M_1(a)=\max\{2,34-8a\}=\begin{cases} 34-8a,&a\in [3,4],\\ 2,&a\in (4,+\infty).\end{cases} $$而函数 $F(x)$ 在 $[0,2)$ 上的最大值是 $2$，于是$$M(a)=\begin{cases} 34-8a,&a\in [3,4],\\ 2,& a\in (4,+\infty).\end{cases} $$ 备注2