题目 养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为 $12 \mathrm{m}$，高 $4 \mathrm{m}$．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来打 $4 \mathrm{m}$（高不变）；二是高度增加 $4 \mathrm{m}$（底面直径不变）． 问题1 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； 答案1 $\dfrac{256}{3}\pi(\mathrm{m}^3)$，$\dfrac{288}{3}\pi(\mathrm{m}^3)$ 解析1 如果按方案一，仓库的底面直径变成 $16 \mathrm{m}$，则仓库的体积$$V_1=\dfrac13Sh=\dfrac13\pi\left(\dfrac{16}{2}\right)^2\cdot4=\dfrac{256}{3}\pi(\mathrm{m}^3);$$如果按方案二，仓库的高变成 $8 \mathrm{m}$，则仓库的体积$$V_2=\dfrac13Sh=\dfrac13\pi\left(\dfrac{12}{2}\right)\cdot8=\dfrac{288}{3}\pi(\mathrm{m}^3).$$ 备注1 问题2 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； 答案2 $32\sqrt{5}(\mathrm{m}^2)$，$60\pi(\mathrm{m}^2)$ 解析2 如果按方案一，仓库的底面直径变成 $16 \mathrm{m}$，圆锥的母线长为 $l\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$，则仓库的表面积$$S_1=\pi\cdot8\cdot4\sqrt{5}=32\sqrt{5}(\mathrm{m}^2);$$如果按方案二，仓库的高变成 $8 \mathrm{m}$，圆锥的母线长为 $l=\sqrt{8^2+6^2}=10$，则仓库的表面积$$S_2=\pi\cdot6\cdot10=60\pi(\mathrm{m}^2).$$ 备注2 问题3 哪个方案更经济些？ 答案3 方案二 解析3 由 $(1)$ 和 $(2)$ 知，$V_2>V_1$，且 $S_2<S_1$，因此方案二比方案一更加经济． 备注3