设 $D,E,F$ 分别为 $\triangle{ABC}$ 的三边 $BC,CA,AB$ 上的点．记 $\alpha =\dfrac{|BD|}{|BC|}$，$\beta =\dfrac{|CE|}{|CA|}$，$\gamma=\dfrac{|AF|}{|AB|}$．证明：$S_{\triangle{DEF}}\geqslant \alpha \beta \gamma S_{\triangle{ABC}}$．
【难度】
【出处】
2010年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
由$$\dfrac{S_{\triangle{BFD}}}{S_{\triangle{ABC}}}=\dfrac{|BD|\cdot |BF|\sin B}{|BC|\cdot |BA|\sin B}=\alpha (1-\gamma),$$同理可得$$\dfrac{S_{\triangle{DEC}}}{S_{\triangle{ABC}}}=\beta (1-\alpha), \dfrac{S_{\triangle{AEF}}}{S_{\triangle{ABC}}}=\gamma (1-\beta),$$所以\[\begin{split}\dfrac{S_{\triangle{DEF}}}{S_{\triangle{ABC}}}&=\dfrac{S_{\triangle{ABC}}-S_{\triangle{BFD}}-S_{\triangle{DEC}}-S_{\triangle{AEF}}}{S_{\triangle{ABC}}}\\&=1-\alpha(1-\gamma)-\beta(1-\alpha)-\gamma(1-\beta)\\&=(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)+\alpha\beta\gamma\\&\geqslant \alpha \beta \gamma,\end{split}\]等号成立当且仅当 $\alpha=1$ 或 $\beta =1$ 或 $\gamma =1$．
因此$$S_{\triangle{DEF}}\geqslant \alpha \beta \gamma S_{\triangle{ABC}},$$等号成立当且仅当 $D$ 与 $C$ 重合，或 $E$ 与 $A$ 重合，或 $F$ 与 $B$ 重合．
因此$$S_{\triangle{DEF}}\geqslant \alpha \beta \gamma S_{\triangle{ABC}},$$等号成立当且仅当 $D$ 与 $C$ 重合，或 $E$ 与 $A$ 重合，或 $F$ 与 $B$ 重合．
答案
解析
备注
