设 $P_{0},P_{1},P_{2},\cdots,P_{n} \left(n\in\mathbb N^{*}\right)$ 是平面上的 $n+1$ 个点，且任意两点间的距离都不小于 $1$．证明：$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(|P_{0}P_{k}|+1)^{4}}<\dfrac{7}{2}$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
令点集 $S_{k}=\left\{P_{m}\left |k<|P_{0}P_{m}|\leqslant k+1\right.\right\}$，$k=1,2,\cdots$，$|S_{k}|$ 表示集合 $S_{k}$ 中元素的个数．设\[\max\left\{|P_{0}P_{1}|,|P_{0}P_{2}|,\cdots,|P_{0}P_{n}|\right\}=M,\]则当 $k>[M]$ 时，$S_{k}$ 为空集，即\[|S_{k}|=0.\]若 $P_{m}\in S_{k}$，则以点 $P_{m}$ 为圆心的圆盘 $\left\{Q\left| \left|P_{m}Q\right|<\dfrac{1}{2}\right.\right\}$ 互不相交，且都包含在以点 $P_{0}$ 为圆心的圆环 $\left\{Q\left|k-\dfrac{1}{2}<|P_{0}Q|<k+\dfrac{3}{2}\right.\right\}$ 内，因此有\[|S_{k}|\cdot \pi\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}<\pi\left[\left(k+\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\left(k-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\right],\]即 $|S_{k}|<8(2k+1)$．
所以，当 $n\geqslant 2$ 时，有\[\begin{split}\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\left(|P_{0}P_{k}|+1\right)^{4}}&\leqslant \sum\limits_{k=1}^{[M]}\dfrac{|S_{k}|}{(k+1)^{4}}\\&<8\sum\limits_{k=1}^{[M]}\dfrac{2k+1}{(k+1)^{4}}\\&=8\left(\dfrac{3}{16}+\sum\limits_{k=2}^{[M]}\dfrac{2k+1}{(k+1)^{4}}\right)\\&<8\left(\dfrac{3}{16}+\sum\limits_{k=2}^{[M]}\dfrac{2k+1}{k^{2}(k+1)^{2}}\right)\\&=8\left(\dfrac{3}{16}+\sum\limits_{k=2}^{[M]}\left(\dfrac{1}{k^{2}}-\dfrac{1}{(k+1)^{2}}\right)\right)\\&=8\left(\dfrac{3}{16}+\left(\dfrac{1}{2^{2}}-\dfrac{1}{([M]+1)^{2}}\right)\right)\\&<8\left(\dfrac{3}{16}+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{7}{2}.\end{split}\]当 $n=1$ 时，$\dfrac{1}{(|P_{0}P_{1}|+1)^{4}}\leqslant \dfrac{1}{(1+1)^{4}}=\dfrac{1}{16}<\dfrac{7}{2}$，不等式也成立．
综上，对任意 $n\in\mathbb N^{*}$，都有 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(|P_{0}P_{k}|+1)^{4}}<\dfrac{7}{2}$．
所以，当 $n\geqslant 2$ 时，有\[\begin{split}\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\left(|P_{0}P_{k}|+1\right)^{4}}&\leqslant \sum\limits_{k=1}^{[M]}\dfrac{|S_{k}|}{(k+1)^{4}}\\&<8\sum\limits_{k=1}^{[M]}\dfrac{2k+1}{(k+1)^{4}}\\&=8\left(\dfrac{3}{16}+\sum\limits_{k=2}^{[M]}\dfrac{2k+1}{(k+1)^{4}}\right)\\&<8\left(\dfrac{3}{16}+\sum\limits_{k=2}^{[M]}\dfrac{2k+1}{k^{2}(k+1)^{2}}\right)\\&=8\left(\dfrac{3}{16}+\sum\limits_{k=2}^{[M]}\left(\dfrac{1}{k^{2}}-\dfrac{1}{(k+1)^{2}}\right)\right)\\&=8\left(\dfrac{3}{16}+\left(\dfrac{1}{2^{2}}-\dfrac{1}{([M]+1)^{2}}\right)\right)\\&<8\left(\dfrac{3}{16}+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{7}{2}.\end{split}\]当 $n=1$ 时，$\dfrac{1}{(|P_{0}P_{1}|+1)^{4}}\leqslant \dfrac{1}{(1+1)^{4}}=\dfrac{1}{16}<\dfrac{7}{2}$，不等式也成立．
综上，对任意 $n\in\mathbb N^{*}$，都有 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(|P_{0}P_{k}|+1)^{4}}<\dfrac{7}{2}$．
答案
解析
备注
