设 $ A_k $、$ B_k $ 分别表示甲、乙在第 $k $ 次投篮投中，则 $ P\left(A_k\right)=\dfrac 13 $，$ P\left(B_k\right)=\dfrac 12 $（$ k=1,2,3$）．
记＂甲获胜＂为事件 $C$，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知\[\begin{split}P\left( C \right) &= P\left( {A_1} \right) + P\left( {\overline {A_1} } {\overline {B_1} {A_2}} \right) + P\left( {\overline {A_1} \overline {B_1} \overline {A_2} \overline {B_2} {A_3}} \right) \\&= P\left( {A_1} \right) + P\left( {\overline {A_1} } \right)P\left( {\overline {B_1} } \right)P\left( {A_2} \right) + P\left({\overline {A_1} } \right)P\left( {\overline {B_1} } \right)P\left( {\overline {A_2} } \right)P\left( {\overline {B_2} }\right)P\left( {A_3} \right) \\&= \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} + {\left({\dfrac{2}{3}} \right)^2} \times {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} \times \dfrac{1}{3}\\&= \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} = \dfrac{13}{27}.\end{split}\]

$\xi $ 的所有可能值为 $ 1,2,3$．由独立性知\[\begin{split}P\left( {\xi = 1} \right) &= P\left( {A_1} \right) + P\left( {\overline {A_1} {B_1}} \right) \\&= \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{3}, \\ P\left( {\xi = 2} \right) &= P\left( {\overline {A_1} \overline {B_1} {A_2}} \right) + P\left( {\overline {A_1} \overline {B_1} \overline {A_2} {B_2}} \right) \\&= \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} + {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2}\times {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{2}{9}, \\ P\left( {\xi = 3} \right) &= P\left( {\overline {A_1} \overline {B_1} \overline {A_2} \overline {B_2} } \right) \\&= {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2}\times {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{9}.\end{split}\]综上知，$\xi $ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\xi&1&2&3\\ \hline
P&\dfrac{2}{3}&\dfrac{2}{9}&\dfrac{1}{9}\\ \hline
\end{array}\]从而，\[{E}\xi = 1 \times \dfrac{2}{3} + 2 \times \dfrac{2}{9} + 3 \times \dfrac{1}{9} = \dfrac{13}{9}.\]