因为 $ \angle BFD = 90^\circ $，所以\[\begin{split}|FA| &= |FB| = |FD| = \sqrt 2 p, \\ \left| {BD} \right| &= 2p,\end{split}\]设 $A\left( {{x_0},{y_0}} \right)$，根据抛物线定义得\[\left| {FA} \right| = \dfrac{p}{2} + {y_0},\]因为 $ \triangle ABD$ 的面积为 $4\sqrt 2 $，所以\[\begin{split}{S_{\triangle ABD}} &= \dfrac{1}{2}|BD|\left({y_0} + \dfrac{p}{2}\right) \\& = \dfrac{1}{2} \times 2p \times \sqrt 2 p \\& = 4\sqrt 2 ,\end{split}\]解得 $p = 2$，所以 $ F\left( {0,1} \right),\left| {FA} \right| = 2\sqrt 2 $，所以 圆 $F$ 的方程为\[{x^2} + {\left(y - 1\right)^2} = 8.\]

解法一：$\because A,B,F$ 三点在同一条直线 $m$ 上，
$\therefore AB$ 是圆 $F$ 的直径，$\angle ADB = 90^\circ $，由抛物线定义知\[|AD| = |FA| = \dfrac{1}{2}|AB|,\]所以 $ \angle ABD = 30^\circ $，$\therefore m$ 的斜率为 $\dfrac{\sqrt 3 }{3} 或 - \dfrac{\sqrt 3 }{3}$，
所以直线 $m$ 的方程为\[y = \pm \dfrac{\sqrt 3 }{3}x + \dfrac{p}{2},\]所以原点到直线 $m$ 的距离 ${d_1} = \dfrac{\sqrt 3 }{4}p$，
设直线 $n$ 的方程为 $y = \pm \dfrac{\sqrt 3 }{3}x + b$，代入 ${x^2} = 2py$ 得，\[{x^2} \pm \dfrac{2\sqrt 3 }{3}px - 2pb = 0,\]因为与 $C$ 只有一个公共点，所以\[\Delta = \dfrac{4}{3}{p^2} + 8pb = 0,\]所以 $ b = - \dfrac{p}{6}$，则直线 $n$ 的方程为\[y = \pm \dfrac{\sqrt 3 }{3}x - \dfrac{p}{6},\]所以原点到直线 $n$ 的距离 ${d_2} = \dfrac{\sqrt 3 }{12}p$，
所以 坐标原点到 $m,n$ 距离的比值为 $ 3 $．
解法二：设 $A\left( {{x_0},\dfrac{x_0^2}{2p}} \right)\left({x_0} > 0\right)$，则 $F\left( {0,\dfrac{p}{2}} \right)$．
由点 $A,B$ 关于点 $F$ 对称得 $B\left( { - {x_0},p - \dfrac{x_0^2}{2p}} \right)$，所以\[ p - \dfrac{x_0^2}{2p} = - \dfrac{p}{2} , x_0^2 = 3{p^2},\]得 $A\left( {\sqrt 3 p,\dfrac{3p}{2}} \right)$，直线 $m$ 的方程为\[x - \sqrt 3 y + \dfrac{\sqrt 3 p}{2} = 0.\]又因为 ${x^2} = 2py$，所以\[ y = \dfrac{x^2}{2p} , y' = \dfrac{x}{p} = \dfrac{\sqrt 3 }{3} , x = \dfrac{\sqrt 3 }{3}p ,\]故切点 $ P\left( {\dfrac{\sqrt 3 p}{3},\dfrac{p}{6}} \right)$，直线 $n$ 的方程为\[y - \dfrac{p}{6} = \dfrac{\sqrt 3 }{3}\left( {x - \dfrac{\sqrt 3 p}{3}} \right) ,\]所以\[x - \sqrt 3 y - \dfrac{\sqrt 3 }{6}p = 0,\]坐标原点到 $m,n$ 距离的比值为 $\dfrac{\sqrt 3 p}{2}:\dfrac{\sqrt 3 p}{6} = 3$．