函数 $ h\left(x\right) $ 是补函数．证明如下：
①\[\begin{split} h\left(0\right) &= \left({\dfrac{1-0}{1+0}} \right)^{\frac{1}{p}}=1, h\left(1\right)& = \left({\dfrac{1-1}{1+\lambda }} \right)^{\frac{1}{p}}=0,\end{split} \]② 对任意 $ a \in \left[0,1\right] $ 有\[ \begin{split}h\left(h\left(a\right)\right) &=h\left( \left({\dfrac{1-a^p}{1+\lambda a^p}}\right)^ {\frac{1}{p}}\right) = \left[\dfrac{1- \dfrac{1-a^p}{1+\lambda a^p}} {1+\lambda {\dfrac{1-a^p}{1+\lambda a^p}}}\right]^ {\frac{1}{p}}\\&= \left({\dfrac{\left(1+\lambda \right)a^p}{1+\lambda }} \right)^{\frac{1}{p}}\\&=a ,\end{split}\]③ 令 $ g\left(x\right)=\left(h\left(x\right)\right)^p $，有\[\begin{split} g'\left(x\right)&={\dfrac{-px^{p-1}\left(1+\lambda x^p\right)-\left(1-x^p\right)\lambda px^{p-1}}{\left(1+\lambda x^p\right)^2}}={\dfrac{-p\left(1+\lambda \right)x^{p-1}}{\left(1+\lambda x^p\right)^2}}. \end{split}\]因为 $ \lambda >-1,p>0 $，所以当 $ x\in \left(0,1\right) $ 时，$ g'\left(x\right)<0 $，
所以函数 $ g\left(x\right) $ 在 $ \left(0,1\right) $ 上单调递减，故函数 $ h\left(x\right) $ 在 $ \left(0,1\right) $ 上单调递减．

当 $ p={\dfrac{1}{n}}\left(n\in {\mathbb{N}}_+\right) $ 时，由 $ h\left(x\right)=x, $ 得\[ \lambda x^{\frac{2}{n}}+2x^{\frac{1}{n}}-1=0,\cdots \left(*\right) \]（ⅰ）当 $ \lambda =0 $ 时，中介元\[ x_n= \left({\dfrac{1}{2}} \right)^n;\]此时，$S_1=\dfrac 12$ 不满足条件；
（ⅱ）当 $ \lambda >-1 $ 且 $ \lambda \neq 0 $ 时，由 $ \left(*\right) $ 得\[ x^{\frac{1}{n}}={\dfrac{1}{{\sqrt{1+\lambda }}+1}}\in\left(0,1\right)或
x^{\frac{1}{n}}={\dfrac{1}{1-{\sqrt{1+\lambda }}}}\notin\left[0,1\right], \]得中介元\[ x_n= \left({\dfrac{1}{{\sqrt{1+\lambda }}+1}} \right)^n ,\]因为 $\left\{x_n\right\}$ 构成以 $\dfrac{1}{\sqrt{1+\lambda}+1}$ 为首项，以 $\dfrac{1}{\sqrt{1+\lambda}+1}$ 为公比的等比数列，所以\[S_n=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{1+\lambda}+1}\left[1-\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+\lambda}+1}\right)^n\right]}{1-\dfrac{1}{\sqrt{1+\lambda}+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\lambda}}\left[1-\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+\lambda}+1}\right)^n\right].\]而 $\dfrac{1}{\sqrt{1+\lambda}+1}\in\left(0,1\right)$，所以 $S_n$ 的最大值趋于 $\dfrac{1}{\sqrt{1+\lambda}}$，
所以有 $\dfrac{1}{\sqrt{1+\lambda}}\leqslant \dfrac 12$，解得 $\lambda\geqslant 3$．

当 $\lambda =0 $ 时，$h\left(x\right)=\left(1-x^p\right)^ {\frac{1}{p}} $，中介元是 $x_p=\left(\dfrac12\right)^ {\frac{1}{p}} $，
① 当 $0<p\leqslant1$ 时，$\dfrac 1p \geqslant 1 $，中介元为 $ x_p=\left(\dfrac12\right)^ {\frac{1}{p}} \leqslant \dfrac12$，
所以点 $\left(x_p,h\left(x_p\right)\right) $ 不在直线 $ y=1-x $ 的上方，不符合条件；
② 当 $ p>1$ 时，依题意只需 $ \left(1-x^p\right)^\frac 1p>1-x$ 在 $x \in\left(0,1\right) $ 时恒成立，
也即 $x^p+\left(1-x\right)^p<1 $ 在 $x \in\left(0,1\right) $ 时恒成立，
设 $ \psi\left(x\right)=x^p+\left(1-x\right)^p,x \in \left[0,1\right]$，则\[ \psi '\left(x\right)=p\left[x^{p-1}-\left(1-x\right)^{p-1}\right],\]由 $ \psi '\left(x\right)=0$ 可得 $x=\dfrac12 $，且当 $x \in \left(0,\dfrac12\right) $ 时，$ \psi '\left(x\right)<0 $，
当 $x \in \left(\dfrac12,1\right) $ 时，$ \psi '\left(x\right)>0 $，又因为 $\psi\left(0\right)= \psi\left(1\right)=1$，
所以当 $ x \in \left(0,1\right)$ 时，$\psi\left(x\right)<1 $ 恒成立．
综上，$ p $ 的取值范围为 $ \left(1,+\infty\right) $．