由已知可设椭圆 ${C_2}$ 的方程为\[\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{4} = 1\left( {a > 2} \right),\]其离心率为 $\dfrac{\sqrt 3 }{2}$，故\[\dfrac{{\sqrt {{a^2} - 4} }}{a} = \dfrac{\sqrt 3 }{2},\]则 $a = 4$，故椭圆 ${C_2}$ 的方程为\[\dfrac{y^2}{16} + \dfrac{x^2}{4} = 1.\]

解法一：
$A,B$ 两点的坐标分别记为 $\left( {{x_A},{y_A}} \right),\left( {{x_B},{y_B}} \right)$．
由 $\overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OA} $ 及（1）知，$O,A,B$ 三点共线且点 $A,B$ 不在 $y$ 轴上，
因此可设直线 $AB$ 的方程为 $y = kx$．
将 $y = kx$ 代入 $\dfrac{x^2}{4} + {y^2} = 1$ 中，得\[\left( {1 + 4{k^2}} \right){x^2} = 4,\]所以\[x_A^2 = \dfrac{4}{{1 + 4{k^2}}};\]将 $y = kx$ 代入 $\dfrac{y^2}{16} + \dfrac{x^2}{4} = 1$ 中，得\[\left( {4 + {k^2}} \right){x^2} = 16,\]所以\[x_B^2 = \dfrac{16}{4 + k^2}.\]又由 $\overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OA} $ 得 $x_B^2 = 4{x_A^2}$，即\[\dfrac{16}{{4 + {k^2}}} = \dfrac{16}{{1 + 4{k^2}}}.\]解得 $k = \pm 1$，故直线 $AB$ 的方程为\[y = x 或 y = - x.\]解法二：
$A,B$ 两点的坐标分别记为 $\left( {{x_A},{y_A}} \right),\left( {{x_B},{y_B}} \right)$．
由 $\overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OA} $ 及（1）知，$O,A,B$ 三点共线且点 $A,B$ 不在 $y$ 轴上，
因此可设直线 $AB$ 的方程为 $y = kx$．
将 $y = kx$ 代入 $\dfrac{x^2}{4} + {y^2} = 1$ 中，得\[\left( {1 + 4{k^2}} \right){x^2} = 4,\]所以\[x_A^2 = \dfrac{4}{{1 + 4{k^2}}},\]由 $\overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OA} $，得\[\begin{split}x_B^2 &= \dfrac{16}{{1 + 4{k^2}}}, \\ y_B^2 &= \dfrac{{16{k^2}}}{{1 + 4{k^2}}},\end{split}\]将 $x_B^2,y_B^2$ 代入 $\dfrac{y^2}{16} + \dfrac{x^2}{4} = 1$ 中，得\[\dfrac{{4 + {k^2}}}{{1 + 4{k^2}}} = 1,\]即\[4 + {k^2} = 1 + 4{k^2},\]解得 $k = \pm 1$，故直线 $AB$ 的方程为\[y = x 或 y = - x.\]