题目 已知 $ \left\{a_n\right\} $ 是等差数列，其前 $ n $ 项和为 $ S_n$，$\left\{b_n\right\} $ 是等比数列，且 $ a_1=b_1=2$，$a_4+b_4=27$，$S_4-b_4=10 $． 问题1 求数列 $ \left\{a_n\right\} $ 与 $ \left\{b_n\right\} $ 的通项公式； 答案1 解析1 设等差数列 $ \left\{a_n\right\} $ 的公差为 $ d $，等比数列 $ \left\{b_n\right\} $ 的公比为 $ q $．<br/>由 $ a_1=b_1=2 $，得\[\begin{split} \begin{cases}a_4=2+3d,\\b_4=2q^3,\\S_4=8+6d .\end{cases}\end{split}\]由条件，得方程组\[\begin{cases}2+3d+2q^3=27,\\ 8+6d-2q^3=10, \end{cases}\]解得\[ \begin{cases}d=3,\\ q=2.\end{cases} \]所以\[ a_n=3n-1,b_n=2^n\left(n\in {\mathbb{N}}^*\right).\] 备注1 问题2 记 $ T_n=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n,n\in {\mathbb{N}}^* $，证明：$ T_n-8=a_{n-1}b_{n+1}\left(n\in {\mathbb{N}}^*,n\geqslant 2\right) $． 答案2 解析2 由（1）得\[ \begin{split}T_n&=2\times 2+5\times 2^2+8\times 2^3+\cdots+\left(3n-1\right)\times 2^n, \quad \cdots \cdots ① \\2T_n&=2\times 2^2+5\times 2^3+\cdots+\left(3n-4\right)\times 2^n+\left(3n-1\right)\times 2^{n+1}. \quad \cdots \cdots ② \end{split}\]由 $ ① - ② $ 得\[ \begin{split}-T_n&=2\times 2+3\times 2^2+3\times 2^3+\cdots+3\times 2^n-\left(3n-1\right)\times 2^{n+1}\\&={\dfrac{6\times \left(1-2^n\right)}{1-2}}-\left(3n-1\right)\times 2^{n+1}-2\\&=-\left(3n-4\right)\times 2^{n+1}-8,\end{split} \]即\[T_n-8=\left(3n-4\right)\times 2^{n+1} .\]而当 $ n\geqslant 2 $ 时，\[ a_{n-1}b_{n+1}=\left(3n-4\right)\times 2^{n+1} .\]所以\[ T_n-8=a_n-1b_{n+1}\left(n\in {\mathbb{N}}^*,n\geqslant 2\right) .\] 备注2