题目 甲厂以 $x {\mathrm{kg{/}h}}$ 的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 $1 \leqslant x \leqslant 10$），每小时可获得的利润是 $100\left(5x + 1 - \dfrac{3}{x}\right)$ 元． 问题1 求证：生产 $a$ 千克该产品所获得的利润为 $100a\left(5 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{{{x^2}}}\right)$ 元； 答案1 解析1 因为每小时生产 $x$ 千克产品，获利 $100\left( {5x + 1 - \dfrac{3}{x}} \right)$，<br/>所以生产 $a$ 千克该产品用时间为 $\dfrac{a}{x}$，且所获利润为\[100\left( {5x + 1 - \dfrac{3}{x}} \right) \cdot \dfrac{a}{x} = 100a\left( {5 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{{{x^2}}}} \right).\] 备注1 问题2 要使生产 $900$ 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润． 答案2 解析2 生产 $ 900 $ 千克该产品，所获利润为\[90000\left( {5 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{{{x^2}}}} \right) = 90000\left[ { - 3\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{6}} \right)^2 + \dfrac{{61}}{{12}}} \right] , \]所以 当 $x = 6$ 时，最大利润为 $90000 \times \dfrac{{61}}{{12}} = 457500$ 元． 备注2