已知函数 $f\left(x\right) = 2 - |x|$．无穷数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 满足 ${a_{n + 1}} = f\left({a_n}\right),n \in {\mathbb{N}}^*$．
【难度】
【出处】
2013年高考上海卷（文）
【标注】
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若 ${a_1} = 0$，求 ${a_2}$，${a_3}$，${a_4}$；标注答案解析由题意得\[ \begin{split} {a_{n + 1}} = 2 - |{a_n}|,\end{split} \]又 $ {a_1} = 0 $，$\therefore$ $ {a_2} = 2,{a_3} = 0,{a_4} = 2 . $
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若 ${a_1} > 0$，且 ${a_1}$，${a_2}$，${a_3}$ 成等比数列，求 ${a_1}$ 的值；标注答案解析$\because$ $ {a_1},{a_2},{a_3} $ 成等比数列，所以\[ {a_3} = \dfrac{a_2^2}{a_1} = 2 - |{a_2}| ,\]所以 $ a_2^2 = {a_1}\left(2 - |{a_2}|\right) $，又 ${a_2} = 2 - | {a_1} | $，所以\[ {\left(2 - | {a_1} |\right) ^ 2 } = {a_1}\left[2 - |2 - | {a_1} | |\right],\]即\[{\left(2 - {a_1} \right) ^ 2} = {a_1}\left[2 - |2 - {a_1}|\right].\]分情况讨论如下：
当 $ 2 - {a_1} \geqslant 0 $ 时，\[{\left(2-{a_1} \right)^2} = {a_1} \left[2 - \left(2-{a_1}\right)\right] = {a_1}^2 \Rightarrow {a_1} = 1 ;\]当 $ 2-{a_1} < 0 $ 时，\[\begin{split}{\left(2-{a_1} \right) ^2} = {a_1} \left[2 - \left({a_1} - 2\right)\right] = {a_1}\left(4 - {a_1}\right) & \Rightarrow 2a_1^2 - 8{a_1} + 4 = 0 \\& \Rightarrow a_1^2 - 4{a_1} + 4 = 2 \\& \Rightarrow {\left({a_1} - 2\right)^2} = 2 \\& \Rightarrow {a_1} = 2 + \sqrt 2 . \end{split}\]综上，${a_1} = 1或 {a_1} = 2 + \sqrt 2 $． -
是否存在 ${a_1}$，使得 ${a_1}$，${a_2}$，${a_3}$，$ \cdots $，${a_n}$，$\cdots $ 成等差数列？若存在，求出所有这样的 ${a_1}$；若不存在，说明理由．标注答案解析假设存在公差为 $ d $ 的等差数列 $ \left\{ {a_n}\right\} $ 满足题意，则\[\forall n \in {\mathbb{N}}^*,{a_{n + 1}} = 2 - |{a_n}| = {a_n} + d
\Rightarrow 2 - d = {a_n} + |{a_n}|.\]讨论如下：
当 $ {a_n} = m $，即数列 $ \left\{ {a_n} \right\} $ 为常数数列时，\[d = 0,2 = 2{a_n} \Rightarrow {a_n} = 1 \Rightarrow {a_1} = 1;\]当数列 $ \left\{ {a_n} \right\} $ 不是常数数列时，\[ {a_n} < 0,2 - d = 0 \Rightarrow d = 2 \Rightarrow \exists n,使 {a_n} > 0,\]所以不满足题意．
综上，存在 $ {a_1} = 1 $ 的等差数列 $ \left\{ {a_n}\right\} $，且 $ {a_n} = 1 $ 满足题意．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
