已知直线 $C_1 : \begin{cases} x=1+t \cos \alpha, \\ y=t \sin \alpha \end{cases} \left(t 为参数\right)$，圆 $ C_2 : \begin{cases}x= \cos \theta, \\ y = \sin \theta\end{cases} \left(\theta 为参数\right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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当 ${\alpha} =\dfrac{{\mathrm \pi } }{3}$ 时，求 ${C_1}$ 与 ${C_2}$ 的交点坐标；标注答案解析当 $\alpha = \dfrac{\mathrm \pi }{3}$ 时，$ C_{1} $ 的普通方程为\[y = \sqrt 3 \left(x - 1\right) ,\]$ C_{2} $ 的普通方程为\[{x^2} + {y^2} = 1 .\]联立方程组\[ \begin{cases} {x^2} + {y^2} = 1, \\ y = \sqrt 3 \left(x - 1\right), \end{cases}\]解得 $ C_{1} $ 与 $ C_{2} $ 的交点为\[ \left(1,0\right) 和 \left(\dfrac{1}{2}, - \dfrac{\sqrt 3 }{2}\right).\]
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过坐标原点 $ O $ 作 ${C_1}$ 的垂线，垂足为 $ A $，$ P $ 为 $ OA $ 的中点，当 $ {\alpha} $ 变化时，求点 $ P $ 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．标注答案解析当 $\alpha \ne \dfrac{k\mathrm \pi }{2},k \in {\mathbb{Z}}$ 时，$ C_{1} $ 的普通方程为\[y = \left( {x - 1} \right)\tan \alpha ,\]设 $P\left(x,y\right) $，则 $A\left(2x,2y\right) $，根据 $A $ 在 $ C_1$ 上及 $ OA$ 垂直于 $ C_1$ 得\[\left\{ \begin{gathered}
2y = \left( {2x - 1} \right)\tan \alpha , \\
\frac{2y}{2x} = - \frac{1}{\tan \alpha }, \\
\end{gathered} \right.\]消去 $\tan \alpha $ 并整理，得 $ P $ 点轨迹的普通方程为\[ {\left(x - \dfrac{1}{4}\right)^2} + {y^2} = \dfrac{1}{16} .\]当 $\alpha = \dfrac{k\mathrm \pi }{2},k \in {\mathbb{Z}}$ 时，仍适合上述方程．
故 $ P $ 点是圆心为 $\left(\dfrac{1}{4},0\right)$，半径为 $\dfrac{1}{4}$ 的圆．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
