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在平面上，$\overrightarrow {A{B_1}} \perp \overrightarrow {A{B_2}}$，$\left| {\overrightarrow {O{B_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {O{B_2}} } \right| = 1$，$\overrightarrow {AP} = \overrightarrow {A{B_1}} + \overrightarrow {A{B_2}} $．若 $\left| {\overrightarrow {OP} } \right| < \dfrac{1}{2}$，则 $\left| {\overrightarrow {OA} } \right|$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left( {0,\dfrac{\sqrt 5 }{2}} \right]$
B: $\left( {\dfrac{\sqrt 5 }{2},\dfrac{\sqrt 7 }{2}} \right]$
C: $\left( {\dfrac{\sqrt 5 }{2},\sqrt 2 } \right]$
D: $\left( {\dfrac{\sqrt 7 }{2},\sqrt 2 } \right]$
【难度】
【出处】
2013年高考重庆卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    解析几何中的基本公式
    >
    矩形的性质
【答案】
D
【解析】
先根据题意作图．作半径为 $1$ 的圆 $O$，在圆 $O$ 上取两点 $B_1,B_2$，以 $B_1B_2$ 为直径作圆 $M$，连接 $OP$，$OA$．由于 $AP$ 也为圆 $M$ 的直径，因此四边形 $AB_1PB_2$ 是矩形．根据矩形的性质，有$$OP^2+OA^2=OB_1^2+OB_2^2=2,$$而 $OP^2\in\left[0,\dfrac 14\right)$，进而可得 $OA^2\in\left(\dfrac 74,2\right]$，于是 $OA$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt 7}2,\sqrt 2\right]$．
题目 答案 解析 备注
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