当 $ a=1 $ 时，\[f\left(x\right)= {{x}^3} - \dfrac{3}{2}{{x}^2} + 1,f\left(2\right)=3 ;\\ f'\left(x\right) = 3{x^2} - 3x , f'\left(2\right)=6 .\]所以曲线 $ y=f\left(x\right) $ 在点 $ \left(2,f\left(2\right)\right) $ 处的切线方程为\[ y-3=6\left(x-2\right),\]即所求切线方程为 $ y=6x-9$．

由已知得\[f'\left(x\right) = 3a{x^2} - 3x = 3x\left(ax - 1\right),\]令 $f'\left(x\right) =0$，解得\[ x=0 或 x=\dfrac{1}{a}.\]以下分两种情况讨论：
（i）若 $0 < {a} \leqslant 2$，则 $\dfrac{1}{a} \geqslant \dfrac{1}{2}$，当 $ x $ 变化时，$f'\left(x\right)$、$ f\left(x\right) $ 的变化情况如下表：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
x &\left(-\frac 1 2 ,0\right) & 0&\left(0,\frac 1 2\right) \\ \hline
f'\left(x\right) & +&0&- \\ \hline
f\left(x\right) &↗&极大值&↘\\ \hline
\end{array} \]当 ${x} \in \left[ { - \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}} \right] $ 时，${f}\left({x}\right) > 0$ 等价于\[\begin{cases}f\left( - \dfrac{1}{2}\right) > 0, \\
f\left(\dfrac{1}{2}\right) > 0, \\
\end{cases}\]即\[\begin{cases}\dfrac{{5 - {a}}}{8} > 0, \\
\dfrac{{5 + {a}}}{8} > 0. \\
\end{cases}\]解不等式组得\[-5<a<5,\]因此 $0 < {a} \leqslant 2$．
（ii）若 $ a>2 $，则 $0 < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{2}$．当 $ x $ 变化时，$f'\left(x\right)$、$ f\left(x\right) $ 的变化情况如下表：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
x &\left(-\frac 1 2 ,0\right) & 0&\left(0,\frac 1 a\right) &\frac 1 a &\left(\frac 1 a ,\frac 1 2\right) \\ \hline
f'\left(x\right) & +&0&- &0&+\\ \hline
f\left(x\right) &↗&极大值&↘&极小值&↗ \\ \hline
\end{array} \]当 ${x} \in \left[ { - \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}} \right]$ 时，$ f\left(x\right)>0 $ 等价于\[{\begin{cases}f\left( - \dfrac{1}{2} \right) > 0, \\
f\left( \dfrac{1}{a} \right) > 0, \\
\end{cases}}\]即\[{\begin{cases}\dfrac{5 - a}{8} > 0, \\
{1 - }\dfrac{1}{{2{a^2}}}{ > 0}. \\
\end{cases}}\]解不等式组得\[\dfrac{\sqrt 2 }{2} < a < 5 或 a < - \dfrac{\sqrt 2 }{2},\]因此 $2<a<5$．
综合（i）和（ii），可知 $ a $ 的取值范围为 $0<a<5$．