由 ${A_1}$，${A_2}$ 为双曲线的左右顶点知 ${A_1}\left( - \sqrt 2 ,0\right)$，${A_2}\left(\sqrt 2 ,0\right)$，故有
直线 $ {A_1}P $ 的方程为\[y = \dfrac{{{y_1}}}{{{x_1} + \sqrt 2 }}\left(x + \sqrt 2 \right), \quad \cdots \cdots ① \]直线 $ {A_2}Q $ 的方程为\[y = \dfrac{{ - {y_1}}}{{{x_1} - \sqrt 2 }}\left(x - \sqrt 2 \right), \quad \cdots \cdots ② \]两式相乘得\[{y^2} = \dfrac{{ - y_1^2}}{{x_1^2 - 2}}\left({x^2} - 2\right),\]因为点 $P\left({x_1},{y_1}\right)$ 在双曲线上，所以 $\dfrac{{x_1^2}}{2} - y_1^2 = 1$，即 $\dfrac{{y_1^2}}{{x_1^2 - 2}} = \dfrac{1}{2}$，
故 ${y^2} = - \dfrac{1}{2}\left({x^2} - 2\right)$，整理得\[\dfrac{{{x^2}}}{2} + {y^2} = 1,\]因为点 $P$，$Q$ 是双曲线上的不同两点，所以它们与点 $A_1$，$A_2$ 均不重合，
故点 $A_1$，$A_2$ 均不在轨迹上．过点 $(0,1)$ 及 $A_2$ 的直线 $l$ 的方程为 $x+\sqrt 2y-\sqrt 2=0$，
解方程组\[\begin{cases}x+ \sqrt 2y-\sqrt 2=0,\\ \dfrac{x^2}{2}-y^2=1 ,\end{cases}\]得 $x=\sqrt 2$，$y=0$，所以直线 $l$ 与双曲线只有一个交点 $A_2$．
故轨迹不经过 $(0,1)$，同理轨迹也不经过点 $(0,-1)$．
综上分析，轨迹 $E$ 的方程为\[\dfrac{x^2}{2}+y^2=1,x \ne 0 且 x \ne \pm \sqrt 2.\]

设 ${l_1}:y = kx + h$，则由知\[{l_2}:y = - \dfrac{1}{k}x + h.\]将 ${l_1}:y = kx + h$ 代入 $\dfrac{{{x^2}}}{2} + {y^2} = 1$，得\[\dfrac{{{x^2}}}{2} + {\left(kx + h\right)^2} = 1,\]即\[\left(1 + 2{k^2}\right){x^2} + 4khx + 2{h^2} - 2 = 0,\]由 ${l_1}$ 与 $ E $ 只有一个交点知\[\Delta = 16{k^2}{h^2} - 4\left(1 + 2{k^2}\right)\left(2{h^2} - 2\right) = 0,\]即\[1 + 2{k^2} = {h^2}.\]同理，由 ${l_2}$ 与 $ E $ 只有一个交点知\[1 + 2 \cdot \dfrac{1}{{{k^2}}} = {h^2},\]消去 ${h^2}$ 得 $\dfrac{1}{{{k^2}}} = {k^2}$，即 ${k^2} = 1$，从而\[{h^2} = 1 + 2{k^2} = 3,\]又因为 $ h > 1$，所以 $ h = \sqrt 3 $．
过点 $A_1$，$A_2$ 分别引直线 $l_1$，$l_2$ 通过 $y$ 轴上的点 $H(0,h)$，且使 $l_1 \perp l_2$，因此 $A_1H \perp A_2H$，
由 $\dfrac{h}{\sqrt 2} \times (-\dfrac{h}{\sqrt 2})=-1$，得 $h=\sqrt 2$．此时，$l_1$，$l_2$ 的方程为\[y=x+\sqrt 2 与 y=-x+\sqrt 2,\]它们与轨迹 $E$ 分别仅有一个交点 $(-\dfrac{\sqrt 2}{3},\dfrac{2\sqrt 2}{3})$ 与 $(\dfrac{\sqrt 2}{3} ,\dfrac{2\sqrt 2}{3})$．
所以，符合条件的 $h$ 的值为 $\sqrt 3$ 或 $\sqrt 2$．