已知函数 $f\left(x\right) = x^3 -x$，其图象记为曲线 $ C$．
（i）求函数 $f \left(x\right) $ 的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数 ${ x _1}$，曲线 $ C $ 与其在点 ${P_1}\left({x_1},f\left({x_1}\right)\right)$ 处的切线交于另一点 ${P_2}\left({x_2},f\left({x_2}\right)\right)$，曲线 $ C $ 与其在点 ${P_2}\left({x_2},f\left({x_2}\right)\right)$ 处的切线交于另一点 ${P_3}\left({x_3},f\left({x_3}\right)\right)$，线段 $P_1P_2,P_2P_3 $ 与曲线 $ C $ 所围成封闭图形的面积分别记为 $ {S_1}, S _ 2 $，则 $ \dfrac{S_1}{S_2} $ 为定值；
（i）求函数 $f \left(x\right) $ 的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数 ${ x _1}$，曲线 $ C $ 与其在点 ${P_1}\left({x_1},f\left({x_1}\right)\right)$ 处的切线交于另一点 ${P_2}\left({x_2},f\left({x_2}\right)\right)$，曲线 $ C $ 与其在点 ${P_2}\left({x_2},f\left({x_2}\right)\right)$ 处的切线交于另一点 ${P_3}\left({x_3},f\left({x_3}\right)\right)$，线段 $P_1P_2,P_2P_3 $ 与曲线 $ C $ 所围成封闭图形的面积分别记为 $ {S_1}, S _ 2 $，则 $ \dfrac{S_1}{S_2} $ 为定值；
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
【解析】
（i）由 $f\left(x\right) = x^3-x $ 得\[f'\left(x\right) =3x^2-1 =3\left(x-\dfrac {\sqrt 3} 3 \right)\left(x+\dfrac {\sqrt 3} 3 \right) . \]当 $x \in \left(-\infty ,-\dfrac {\sqrt 3} 3 \right) $ 和 $\left(\dfrac {\sqrt 3} 3 ,+\infty\right) $ 时，$f'\left(x\right) >0$；
当 $x \in \left(-\dfrac {\sqrt 3} 3 ,\dfrac {\sqrt 3} 3 \right) $ 时，$f'\left(x\right) < 0 $．
因此，$ f\left(x\right) $ 的单调递增区间为 $ \left(-\infty ,-\dfrac {\sqrt 3} 3 \right) $ 和 $ \left(\dfrac {\sqrt 3} 3 ,+\infty\right) $，单调递减区间为 $ \left(-\dfrac {\sqrt 3} 3 ,\dfrac {\sqrt 3} 3 \right) $．
（ii）曲线 $ C $ 在点 $ P_1 $ 处的切线方程为 $ y=\left(3x_1^2 -1\right) \left(x-x_1\right)+x_1^3 -x_1, $ 即\[ y=\left(3x_1^2-1\right)x -2x_1^3. \]由\[\begin{cases} y=\left(3x_1^2-1\right)x -2x_1^3 , \\ y =x^3-x, \end{cases}\]得 $x^3-x= \left(3x_1^2-1\right)x -2x_1^3,$ 即\[ \left(x-x_1\right)^2\left(x+2x_1\right) = 0 , \]解得 $x=x_1 或 x=-2x_1, $ 故 $x_2=-2x_1$．进而有\[\begin{split} S_1 & = {\left|\int_{x_1}^{-2x_1} {\left(x^3-3x_1^2 x +2 x_1^3\right)} {\mathrm d}x\right|} \\& = {\left|{\left(\dfrac 1 4 x^4 -\dfrac 3 2 x_1^2 x^2 + 2 x_1^3 x \right) \left| \right._{x_1}^{-2 x_1}}\right|} =\dfrac {27} 4 x_1^4 .\end{split}\]用 $x_2 $ 代替 $ x_1$，重复上述计算过程，可得\[ x_3=-2 x_2 和 S_2 =\dfrac {27} 4 x_2^4 .\]又 $x_2 =-2 x_1 \ne 0 $，所以\[\dfrac {S_1} {S_2} = \dfrac 1 {16}, \]为定值．
当 $x \in \left(-\dfrac {\sqrt 3} 3 ,\dfrac {\sqrt 3} 3 \right) $ 时，$f'\left(x\right) < 0 $．
因此，$ f\left(x\right) $ 的单调递增区间为 $ \left(-\infty ,-\dfrac {\sqrt 3} 3 \right) $ 和 $ \left(\dfrac {\sqrt 3} 3 ,+\infty\right) $，单调递减区间为 $ \left(-\dfrac {\sqrt 3} 3 ,\dfrac {\sqrt 3} 3 \right) $．
（ii）曲线 $ C $ 在点 $ P_1 $ 处的切线方程为 $ y=\left(3x_1^2 -1\right) \left(x-x_1\right)+x_1^3 -x_1, $ 即\[ y=\left(3x_1^2-1\right)x -2x_1^3. \]由\[\begin{cases} y=\left(3x_1^2-1\right)x -2x_1^3 , \\ y =x^3-x, \end{cases}\]得 $x^3-x= \left(3x_1^2-1\right)x -2x_1^3,$ 即\[ \left(x-x_1\right)^2\left(x+2x_1\right) = 0 , \]解得 $x=x_1 或 x=-2x_1, $ 故 $x_2=-2x_1$．进而有\[\begin{split} S_1 & = {\left|\int_{x_1}^{-2x_1} {\left(x^3-3x_1^2 x +2 x_1^3\right)} {\mathrm d}x\right|} \\& = {\left|{\left(\dfrac 1 4 x^4 -\dfrac 3 2 x_1^2 x^2 + 2 x_1^3 x \right) \left| \right._{x_1}^{-2 x_1}}\right|} =\dfrac {27} 4 x_1^4 .\end{split}\]用 $x_2 $ 代替 $ x_1$，重复上述计算过程，可得\[ x_3=-2 x_2 和 S_2 =\dfrac {27} 4 x_2^4 .\]又 $x_2 =-2 x_1 \ne 0 $，所以\[\dfrac {S_1} {S_2} = \dfrac 1 {16}, \]为定值．
答案
解析
备注
