法一：
因为 $ PD\perp 平面 ABCD $，$BC \subset 平面 ABCD $，所以 $ PD\perp BC $．
因为 $ \angle BCD=90^\circ $，所以 $ CD\perp BC $．
又 $ PD \cap CD = D$，所以 $ BC\perp 平面 PCD $．
而 $PC \subset 平面 PCD $，所以 $ PC\perp BC $．
法二：
过点 $D$ 作 $DE \parallel BC $ 交 $AB $ 于 $ E $，则 $ E $ 为 $ AB $ 中点．
因为 $ PD \perp 平面 ABCD $，所以 $ PD\perp CD $，$ PD \perp DE $．
因为 $ \angle BCD=90^\circ$，所以 $ CD\perp BC $，所以 $ CD\perp DE $．
以 $ D $ 为坐标原点 $ O $，$ DE $ 为 $ x $ 轴，$ DC $ 为 $ y $ 轴，$ DP $ 为 $ z $ 轴，建立空间直角坐标系，如图，则\[ O\left(D\right)\left(0,0,0\right) , A\left(1,-1,0\right) , B\left(1,1,0\right) , C\left(0,1,0\right) , P\left(0,0,1\right). \]所以\[\overrightarrow {PC} = \left(0,1,-1\right) , \overrightarrow {BC} = \left(-1,0,0\right) ,\overrightarrow {PC} \cdot \overrightarrow {BC} =0, \]所以 $PC \perp BC $．

法一：
如图，过点 $ A $ 作 $ BC $ 的平行线交 $ CD $ 的延长线于 $ E $，过点 $ E $ 作 $ PC $ 的垂线，垂足为 $ F $，则有 $ AE\parallel 平面 PBC $，所以点 $ A $ 到平面 $ PBC $ 的距离等于点 $ E $ 到平面 $ PBC $ 的距离．
又 $ EF\perp PC $，$ BC\perp 平面 PCD $，则 $ EF\perp BC $．
而 $ BC\cap PC=C $，所以 $ EF\perp 平面 PBC $．$ EF $ 即为 $ E $ 到平面 $ PBC $ 的距离．
又因为 $ AE\parallel BC $，$ AB\parallel CD $，所以四边形 $ ABCE $ 为平行四边形．
所以 $ CE=AB=2 $．
又 $ PD=CD=1 $，$ PD\perp 平面 ABCD $，$ CD\subset 平面 ABCD $，
所以 $ PD\perp CD $，$ \angle PCD = 45^\circ $．
所以 $ EF= \sqrt 2 $，即点 $ A $ 到平面 $ PBC $ 的距离为 $ \sqrt 2 $．
法二：
设平面 $ PBC $ 的一个法向量为 $ \overrightarrow n =\left(x,y,z\right) $，点 $ A $ 到平面 $ PBC $ 的距离为 $ d $，则由\[ \overrightarrow n \perp \overrightarrow {PC} , \overrightarrow n \perp \overrightarrow {BC} ,\]得\[ \begin{cases}y-z=0 , \\ -x = 0 , \end{cases} \]解得\[ x=0,y=z. \]令 $ z=1 $，则 $ y=1 $，得\[ \overrightarrow n =\left(0,1,1\right) .\]又\[ \overrightarrow {PA} =\left(1,-1,-1\right) ,\]故\[ d = {\left|{\dfrac {\overrightarrow {PA} \cdot \overrightarrow n } {{\left|{\overrightarrow n }\right|}} }\right|} = \dfrac 2 {\sqrt 2} = \sqrt 2.\]所以点 $ A $ 到平面 $ PBC $ 的距离为 $ \sqrt 2 $．