为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 $ 20 $ 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 $ 6 $ 万元．该建筑物每年的能源消耗费用 $ C $（单位：万元）与隔热层厚度 $ x $（单位：${\mathrm{ cm}} $）满足关系：$C\left(x\right)= \dfrac{k}{{3x + 5}}\left(0 \leqslant x \leqslant 10\right)$，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 $ 8 $ 万元．设 $ f\left(x\right) $ 为隔热层建造费用与 $ 20 $ 年的能源消耗费用之和．
【难度】
【出处】
2010年高考湖北卷（理）
【标注】
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求 $ k $ 的值及 $ f\left(x\right) $ 的表达式．标注答案解析设隔热层厚度为 $x $ ${\mathrm{cm}}$．由题设，得 $ C\left(0\right)=8$，即\[\dfrac{k}{{3 \times 0 + 5}} = 8,\]解得\[k=40, \]因此 $C(x) $ 的解析式为\[ C\left(x\right)=\dfrac{40}{3x+5}.\]因为建造费用为 $C_1\left(x\right)=6x $，所以隔热层建造费用与 $ 20 $ 年的能源消耗费用之和为\[\begin{split}f\left(x\right)&=20C\left(x\right)+C_1\left(x\right)\\&=20\times\dfrac{40}{3x+5}+6x\\&=\dfrac{800}{3x+5}+6x\left(0\leqslant x\leqslant10\right) .\end{split}\]
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隔热层修建多厚时，总费用 $ f\left(x\right) $ 达到最小，并求最小值．标注答案解析由题意得\[f'\left(x\right)=6-\dfrac{2400}{\left(3x+5\right)^2},\]令 $ f'\left(x\right)=0$，即\[\dfrac{2400}{\left(3x+5\right)^2}=6,\]解得\[x=5 或 x=-\dfrac{25}3 (舍去). \]因为当 $ 0<x<5$ 时，$ f'\left(x\right)<0$；
当 $ 5<x<10$ 时，$f'\left(x\right)>0 $，
所以 $x=5 $ 是 $f\left(x\right) $ 的最小值点，且对应的最小值为\[ f\left(5\right)=6\times5+\dfrac{800}{15+5}=70.\]故当隔热层修建 $ 5$ ${\mathrm{cm}} $ 厚时，总费用达到最小值为 $ 70 $ 万元．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
