若实数 $ x $、$ y $、$ m $ 满足 $ |x-m|>|y-m| $，则称 $ x $ 比 $ y $ 远离 $ m $．
【难度】
【出处】
2010年高考上海卷（理）
【标注】
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若 $ x^2-1 $ 比 $ 1 $ 远离 $ 0 $，求 $ x $ 的取值范围；标注答案解析由题意得 $ |x^2-1|>1$，即\[ x^2-1>1 或 x^2-1<1.\]由 $x^2-1>1$，得\[x<-\sqrt2 或 x>\sqrt2;\]由 $x^2-1<-1$，得 $x\in \varnothing$．
综上可知 $x$ 的取值范围为 $ \left( - \infty , - \sqrt 2 \right) \cup \left(\sqrt 2 ,+ \infty \right)$． -
对任意两个不相等的正数 $ a $、$ b $，证明：$ a^3+b^3$ 比 $a^2b+ab^2 $ 远离 $2ab\sqrt {ab} $；标注答案解析由题意，即证\[ \left|{a^3} + {b^3} - 2ab\sqrt {ab} \right| > \left|{a^2}b + a{b^2} - 2ab\sqrt {ab} \right|.\]因为 $a\neq b $，且 $ a$、$b $ 都为正数，所以\[\begin{split} \left|a^3+b^3-2ab\sqrt{ab} \right|&= \left|\left(\sqrt{a^3}\right)^2+\left(\sqrt {b^3}\right)^2-2\sqrt{a^3b^3} \right|\\&= \left|\left(\sqrt{a^3}-\sqrt{b^3}\right)^2 \right|=\left(a\sqrt a-b\sqrt b\right)^2,\\ \left|a^2b+ab^2-2ab\sqrt{ab} \right|&= \left|ab\left(a+b-2\sqrt {ab}\right) \right|\\&=ab\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2=\left(a\sqrt b-b\sqrt a\right)^2,\end{split}\]即证\[ \left(a\sqrt a-b\sqrt b\right)^2-\left(a\sqrt b-b\sqrt a\right)^2>0,\]即证\[ \left(a\sqrt a-b\sqrt b-a\sqrt b+b\sqrt a\right)\left(a\sqrt a-b\sqrt b+a\sqrt b-b\sqrt a\right)>0,\]需证\[ \left[\left(\sqrt a-\sqrt b\right)\left(a+b\right)\right]\left[\left(a-b\right)\left(\sqrt a+\sqrt b\right)\right]>0,\]即证\[\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2>0 .\]因为 $ a$、$ b$ 都为正数且 $a\neq b $，所以上式成立．故命题成立．
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已知函数 $ f\left(x\right) $ 的定义域 $D = \left\{ x \left| \right.x \ne \dfrac{{k{\mathrm \pi } }}{2} + \dfrac{{\mathrm \pi } }{4},k \in{\mathbb{ Z}},x \in {\mathbb{R}}\right\} $．任取 $ x\in D$，$f\left(x\right) $ 等于 $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 中远离 $ 0 $ 的那个值．写出函数 $ f\left(x\right) $ 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．标注答案解析因为 $x\neq \dfrac{k{\mathrm{\mathrm \pi}}}2+\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi}}}4,k\in {\mathbb{Z}},x\in {\mathbb{R}}$，所以当 $|\sin x|>|\cos x|$ 时，得 $\sin ^2x>\cos ^2x $，即 $\cos 2x<0 $，解得 $ k{\mathrm{{\mathrm{\mathrm \pi}}}}+\dfrac{{\mathrm{{\mathrm{\mathrm \pi}}}}}4<x<k{\mathrm{\mathrm \pi}}+\dfrac{3{\mathrm{\mathrm \pi}}}4,k\in{\mathbb{Z}}$，此时 $ f\left(x\right)=\sin x$；当 $ |\sin x|<|\cos x|$ 时，得 $ \sin ^2x<\cos ^2x$，即 $ \cos 2x>0$，解得 $ k{\mathrm{\mathrm \pi}}-\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi}}}4<x<k{\mathrm{\mathrm \pi}}+\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi}}}4,k\in {\mathbb{Z}}$，此时 $f\left(x\right)=\cos x $．综上可得\[ f\left(x\right)=\begin{cases}\sin x,x\in\left(k{\mathrm{\mathrm \pi}}+\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi}}}4,k{\mathrm{\mathrm \pi}}+\dfrac{3{\mathrm{\mathrm \pi}}}4\right)\left(k\in {\mathbb{Z}}\right),\\ \cos x,x\in\left(k{\mathrm{\mathrm \pi}}-\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi}}}4,k{\mathrm{\mathrm \pi}}+\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi}}}4\right)\left(k\in{\mathbb{ Z}}\right).\end{cases}\]性质如下：非奇非偶函数；值域为 $ \left[-1,-\dfrac{\sqrt2}2\right)\cup\left(\dfrac{\sqrt2}2,1\right]$；函数最小正周期为 $2{\mathrm{\mathrm \pi}}$；
函数的单调增区间为 $\left(2k{\mathrm{\mathrm \pi}}-\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi}}}4,2 k{\mathrm{\mathrm \pi}}\right)$，$ \left(2k{\mathrm{\mathrm \pi}}+\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi}}}4,2k{\mathrm{\mathrm \pi}}+\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi}}}2\right)$，$ \left(2k{\mathrm{\mathrm \pi}}+{\mathrm{\mathrm \pi}},2k{\mathrm{\mathrm \pi}}+\dfrac{5{\mathrm{\mathrm \pi}}}4\right)$ 和 $ \left(2k{\mathrm{\mathrm \pi}}+\dfrac{3{\mathrm{\mathrm \pi}}}2,2k{\mathrm{\mathrm \pi}}+\dfrac{7{\mathrm{\mathrm \pi}}}4\right),k\in {\mathbb{Z}}$；函数的单调减区间为 $\left( 2k{\mathrm{\mathrm \pi}},2k{\mathrm{\mathrm \pi}}+\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi}}}4\right)$，$ \left(2k{\mathrm{\mathrm \pi}}+\dfrac{{\mathrm{\mathrm \pi}}}2,2k{\mathrm{\mathrm \pi}}+\dfrac{3{\mathrm{\mathrm \pi}}}4\right)$，$\left(2k{\mathrm{\mathrm \pi}}+\dfrac{3{\mathrm{\mathrm \pi}}}4,2k{\mathrm{\mathrm \pi}}+{\mathrm{\mathrm \pi}}\right)$ 和 $\left(2k{\mathrm{\mathrm \pi}}+\dfrac{5{\mathrm{\mathrm \pi}}}4,2k{\mathrm{\mathrm \pi}}+\dfrac{3{\mathrm{\mathrm \pi}}}2\right)$，$k\in {\mathbb{Z}}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
