在 $\triangle ABC$ 中，因为 $\angle ABC = 45^\circ $，$ BC=4 $，$AB = 2\sqrt 2 $，所以\[A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos {45^ \circ } = 8.\]因此 $AC = 2\sqrt 2 $，故 $B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}$，所以 $\angle BAC = {90^\circ}$．
又 $PA \perp平面 ABCDE $，$ AB\parallel CD $，所以 $CD \perp PA$，$CD \perp AC$．
又 $ PA,AC\subset 平面 PAC$，且 $ PA\cap AC=A $，所以 $ CD \perp 平面 PAC $．
又 $CD \subset平面 PCD $，所以 $ 平面 PCD \perp 平面 PAC $．

解法一：
因为 $\triangle APB$ 是等腰三角形，所以 $PA = AB = 2\sqrt 2 $，因此 $PB = \sqrt {P{A^2} + A{B^2}} = 4$，又 $ AB\parallel CD $，所以点 $ B $ 到平面 $ PCD $ 的距离等于点 $ A $ 到平面 $ PCD $ 的距离．
由于 $ CD\perp 平面 PAC $，在 ${\mathrm{Rt}}\triangle PAC$ 中，$PA = 2\sqrt 2 $，$AC = 2\sqrt 2 $，所以 $ PC=4 $，故 $ PC $ 边上的高为 $ 2 $．此即为点 $ A $ 到平面 $ PCD $ 的距离，所以 $ B $ 到平面 $ PCD $ 的距离为 $h = 2$．设直线 $ PB $ 与平面 $ PCD $ 所成的角为 $\theta $，则 $\sin \theta = \dfrac{h}{PB} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$，又 $\theta \in \left[0,\dfrac{{\mathrm \pi } }{2}\right]$，所以 $\theta = \dfrac{{\mathrm \pi } }{6}$．
解法二：由（1）知 $ AB $，$ AC $，$ AP $ 两两相互垂直．
分别以 $ AB $，$ AC $，$ AP $ 为 $x$ 轴，$ y$ 轴，$ z $ 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由于 $\triangle PAB$ 是等腰三角形，所以 $PA = AB = 2\sqrt 2 $．又 $AC = 2\sqrt 2 $，因此\[A\left(0,0,0\right),B\left(2\sqrt 2 ,0,0\right),C\left(0,2\sqrt 2 ,0\right),P\left(0,0,2\sqrt 2 \right).\]因为 $ AC\parallel DE $，$CD\perp AC$，所以四边形 $ ACDE $ 是直角梯形．
因为 $AE = 2$，$\angle ABC = {45^\circ}$，$AE\parallel BC$，所以 $\angle BAE = {135^\circ}$．因此 $\angle CAE = {45^\circ}$，故\[CD = AE \cdot \sin {45^\circ} = 2 \times \dfrac{\sqrt 2 }{2} = \sqrt 2 ,\]所以 $D\left( - \sqrt 2 ,2\sqrt 2 ,0\right)$，因此\[\overrightarrow {CP} = \left(0, - 2\sqrt 2 ,2\sqrt 2 \right),\overrightarrow {CD} = \left( - \sqrt 2 ,0,0\right),\]设 $\overrightarrow m = \left(x,y,z\right)$ 是平面 $ PCD $ 的一个法向量，则\[\overrightarrow m \cdot \overrightarrow {CP} = 0,\overrightarrow m \cdot \overrightarrow {CD} = 0,\]解得 $x = 0,y = z$，取 $y = 1$，得 $\overrightarrow m = \left(0,1,1\right)$，又 $\overrightarrow {BP} = \left( - 2\sqrt 2 ,0,2\sqrt 2 \right)$，
设 $\theta $ 表示向量 $\overrightarrow {BP} $ 与平面 $ PCD $ 的法向量 $\overrightarrow m$ 所成的角，则\[\cos \theta = \dfrac{{\overrightarrow m \cdot \overrightarrow {BP} }}{{ \left|\overrightarrow m \right| \left|\overrightarrow {BP} \right|}} = \dfrac{1}{2},\]所以 $\theta = \dfrac{\mathrm \pi }{3}$，因此直线 $ PB $ 与平面 $ PCD $ 所成的角为 $\dfrac{\mathrm \pi }{6}$．

因为 $ AC\parallel ED $，$CD \perp AC$，所以四边形 $ ACDE $ 是直角梯形，
因为 $AE = 2$，$\angle ABC = {45^\circ}$，$AE\parallel BC$，所以 $\angle BAE = {135^\circ}$，
因此 $\angle CAE = {45^\circ}$，故\[\begin{split}CD &= AE \cdot \sin {45^\circ} = 2 \times \dfrac{\sqrt 2 }{2} = \sqrt 2 ,\\ ED &= AC - AE \cdot \cos {45^\circ} = 2\sqrt 2 - 2 \times \dfrac{\sqrt 2 }{2} = \sqrt 2 ,\end{split}\]所以\[{S_{四边形ACDE}} = \dfrac{\sqrt 2 + 2\sqrt 2 }{2} \times \sqrt 2 = 3.\]又 $PA \perp 平面 ABCDE$，所以\[{V_{P - ACDE}} = \dfrac{1}{3} \times 3 \times 2\sqrt 2 = 2\sqrt 2 .\]