易知 ${1^2}$，${5^2}$，${7^2}$ 成等差数列，故 ${a^2}$，${\left(5a\right)^2}$，${\left(7a\right)^2}$ 也成等差数列，
所以对任一正整数 $a$，都存在正整数 $b = 5a$，$c = 7a$，$\left(b < c\right)$，
使得 ${a^2}$，${b^2}$，${c^2}$ 成等差数列．

若 $a{}_n^2$，$b{}_n^2$，$c{}_n^2$ 成等差数列，则有 $b_n^2 - a_n^2 = c_n^2 - b_n^2$，即\[\left({b_n} - {a_n}\right)\left({b_n} + {a_n}\right) = \left({c_n} - {b_n}\right)\left({c_n} + {b_n}\right), \quad \cdots \cdots ① \]选取关于 $n$ 的一个多项式，例如 $4n\left({n^2} - 1\right)$，使得它可按两种方式分解因式，由于\[4n\left({n^2} - 1\right) = \left(2n - 2\right)\left(2{n^2} + 2n\right) = \left(2n + 2\right)\left(2{n^2} - 2n\right),\]因此令\[{\begin{cases}
{a_n} + {b_n} = 2{n^2} - 2n, \\
{b_n} - {a_n} = 2n + 2 ,\\
\end{cases}}{\begin{cases}{c_n} + {b_n} = 2{n^2} + 2n, \\
{c_n} - {b_n} = 2n - 2, \\
\end{cases}}\]可得\[\begin{cases}a_n = {n^2} - 2n - 1, \\
b_n = {n^2} + 1,\\
c_n = {n^2} + 2n - 1,
\end{cases} \left(n \geqslant 4\right)\]易验证 $a{}_n^{}$，$b{}_n^{}$，$c{}_n^{}$ 满足 ①，因此 $a{}_n^2$，$b{}_n^2$，$c{}_n^2$ 成等差数列．
当 $n \geqslant 4$ 时，有 ${a_n} < {b_n} < {c_n}$，且\[{a_n} + {b_n} - {c_n} = {n^2} - 4n + 1 > 0,\]因此以 ${a_n}$，${b_n}$，${c_n}$ 为边可以构成三角形，将此三角形记为 $ \triangle_n\left(n\geqslant4\right)$．
其次，任取正整数 $m,n$ $\left(m,n \geqslant 4,且 m \ne n\right)$，假若三角形 ${\triangle _m}$ 与 ${\triangle _n}$ 相似，则有：\[\dfrac{{{m^2} - 2m - 1}}{{{n^2} - 2n - 1}} = \dfrac{{{m^2} + 1}}{{{n^2} + 1}} = \dfrac{{{m^2} + 2m - 1}}{{{n^2} + 2n - 1}},\]据比例性质有：\[\begin{split}\dfrac{{{m^2} + 1}}{{{n^2} + 1}} &= \dfrac{{{m^2} + 2m - 1}}{{{n^2} + 2n - 1}} = \dfrac{{\left({m^2} + 2m - 1\right) - \left({m^2} + 1\right)}}{{\left({n^2} + 2n - 1\right) - \left({n^2} + 1\right)}} = \dfrac{{{m^{}} - 1}}{{{n^{}} - 1}},\\ \dfrac{{{m^2} + 1}}{{{n^2} + 1}} &= \dfrac{{{m^2} - 2m - 1}}{{{n^2} - 2n - 1}} = \dfrac{{\left({m^2} - 2m - 1\right) - \left({m^2} + 1\right)}}{{\left({n^2} - 2n - 1\right) - \left({n^2} + 1\right)}} = \dfrac{{{m^{}} + 1}}{{{n^{}} + 1}} ,\end{split}\]所以 $\dfrac{{m + 1}}{{n + 1}} = \dfrac{{m - 1}}{{n - 1}}$，由此可得 $m = n$，与假设 $m \ne n$ 矛盾，
即任两个三角形 ${\triangle _m}$ 与 ${\triangle _n}$ $\left(m,n \geqslant 4,m \ne n\right)$ 互不相似，
所以存在无穷多个互不相似的三角形 ${\triangle _n}$，其边长 ${a_n},{b_n},{c_n}$ 为正整数且 $a_n^2$，$b_n^2$，$c_n^2$ 成等差数列．