设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$D(x_1,-y_1)$，$l$ 的方程为 $x=my-1(m \ne 0)$．
将 $x = my - 1$ 代入 ${y^2} = 4x$ 并整理得\[{y^2} - 4my + 4 = 0,\]从而得到\[\begin{cases}{y_1} + {y_2} = 4m,\\ {y_1}{y_2} = 4.\end{cases}\]直线 $ BD $ 的方程为\[y - {y_2} = \dfrac{{{y_2} + {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\left(x - {x_2}\right) ,\]即\[y - {y_2} = \dfrac{4}{{{y_2} - {y_1}}}\left(x - \dfrac{{{y_2}^2}}{4}\right).\]令 $y = 0$，得\[x = \dfrac{{{y_1}{y_2}}}{4} = 1,\]所以点 $ F\left(1,0\right) $ 在直线 $ BD $ 上．

由（1）知\[\begin{split}{x_1} + {x_2}& = \left(m{y_1} - 1\right) + \left(m{y_2} - 1\right) = 4{m^2} - 2,\\ {x_1}{x_2} &= \left(m{y_1} - 1\right)\left(m{y_2} - 1\right) = 1.\end{split}\]因为 $\overrightarrow {FA} = \left({x_1} - 1,{y_1}\right),\overrightarrow {FB} = \left({x_2} - 1,{y_2}\right) $，所以\[\begin{split}\overrightarrow {FA} \cdot \overrightarrow {FB} &= \left({x_1} - 1\right)\left({x_2} - 1\right) + {y_1}{y_2} \\&= {x_1}{x_2} - \left({x_1} + {x_2}\right) + 1 + 4 = 8 - 4{m^2},\end{split}\]故 $8 - 4{m^2} = \dfrac{8}{9}$，解得 $m = \pm \dfrac{4}{3}$．所以 $l$ 的方程为\[3x + 4y + 3 = 0,3x - 4y + 3 = 0.\]又由（1）知\[{y_2} - {y_1} = \pm \sqrt {{{\left(4m\right)}^2} - 4 \times 4} = \pm \dfrac{4}{3}\sqrt 7 ,\]故直线 $ BD $ 的斜率\[\dfrac{4}{{{y_2} - {y_1}}} = \pm \dfrac{3}{{\sqrt 7 }} ,\]因而直线 $ BD $ 的方程为\[3x + \sqrt 7 y - 3 = 0,3x - \sqrt 7 y - 3 = 0.\]因为 $ KF $ 为 $\angle BKD$ 的平分线，故可设圆心 $M\left(t,0\right)\left( - 1 < t < 1\right)$，
$M\left(t,0\right)$ 到 $l$ 及 $ BD $ 的距离分别为 $\dfrac{{3\left| {t + 1} \right|}}{5},\dfrac{{3\left| {t - 1} \right|}}{4}$．
由 $\dfrac{{3\left| {t + 1} \right|}}{5} = \dfrac{{3\left| {t - 1} \right|}}{4}$，得\[t = \dfrac{1}{9},或 t = 9 \left(舍去\right),\]故圆 $ M $ 的半径 $r = \dfrac{{3\left| {t + 1} \right|}}{5} = \dfrac{2}{3} $，所以圆 $ M $ 的方程为 ${\left(x - \dfrac{1}{9}\right)^2} + {y^2} = \dfrac{4}{9}$．