已知 $\triangle ABC$ 的外心为 $O, \overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{CO}\cdot\overrightarrow{BA}$，角 $A, B, C$ 的对边为 $a, b, c$，则 $\dfrac{a^2+c^2}{b^2}$ 的值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
由题意，设 $BC, AB, AC$ 的中点分别为 $E, M, F, \triangle ABC$ 的外心为 $O$，则 $OE\perp BC$，$OF\perp AC$，$OM\perp AB$，且 $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{OE}, \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{OF}, \overrightarrow{CO}=\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{OM}$．由 $\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{CO}\cdot\overrightarrow{BA}$，可得 $\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{BA}$．又 $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BM}$，代入上式，可得 $ab\cos C-\dfrac{1}{2}a^2=-2cb\cdot\cos A+b^2-3ac\cos B+\dfrac{3}{2}c^2$．由余弦定理，上式可化简为 $a^2+c^2=2b^2$，故 $\dfrac{a^2+c^2}{b^2}=2$．
题目
答案
解析
备注
