设 $ F_1 \left( - c,0\right)$，$F_2 \left(c,0\right)$ $\left(c > 0\right)$，由题意，可得\[ |PF_2 | = |F_1 F_2 |, \]即\[ \sqrt {\left(a - c\right)^2 + b^2 } = 2c. \]整理得\[ 2\left(\frac{c}{a}\right)^2 + \frac{c}{a} - 1 = 0,\]即\[\frac{c}{a} = - 1\left(舍\right), 或 \frac{c}{a} = \frac{1}{2}.\]所以\[ e = \frac{1}{2}. \]

由（1）知\[ a = 2c,b = \sqrt 3 c, \]可得椭圆方程为\[ 3x^2 + 4y^2 = 12c^2 , \]直线 $ PF_2 $ 方程为\[ y = \sqrt 3 \left(x - c\right). \]$ A,B $ 两点的坐标满足方程组\[\begin{cases} 3x^2 + 4y^2 = 12c^2 , \\ y = \sqrt 3 \left(x - c\right). \end{cases}\]消去 $ y $ 并整理，得\[ 5x^2 - 8cx = 0. \]解得\[ x _1 = 0,x_2 = \frac{8}{5}c. \]得方程组的解\[ \begin{cases} x_1 = 0, \\ y_1 = - \sqrt 3 c, \end{cases} \begin{cases} x_2 = \dfrac{8}{5}c, \\
y_2 = \dfrac{3\sqrt 3 }{5}c. \end{cases}\]不妨设 $ A\left(\dfrac{8}{5}c,\dfrac{3\sqrt 3 }{5}c\right) $，$ B\left(0, - \sqrt 3 c\right) $，设点 $ M $ 的坐标为 $ \left(x,y\right) $，\[\begin{split}\overrightarrow {AM} & = \left(x - \frac{8}{5}c,y - \frac{3\sqrt 3 }{5}c\right), \\ \overrightarrow {BM} & = \left(x,y + \sqrt 3 c\right),\end{split}\]由 $ y = \sqrt 3 \left(x - c\right) $，得\[ c = x - \frac{\sqrt 3 }{3}y. \]于是\[\begin{split}\overrightarrow {AM} & = \left(\frac{8\sqrt 3 }{15}y - \frac{3}{5}x,\frac{8}{5}y - \frac{3\sqrt 3 }{5}x\right), \\ \overrightarrow {BM} & = \left(x,\sqrt 3 x\right).\end{split}\]由 $ \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} = - 2 $，即\[\left(\frac{8\sqrt 3 }{15}y - \frac{3}{5}x\right) \cdot x + \left(\dfrac{8}{5}y - \dfrac{3\sqrt 3 }{5}x\right) \cdot \sqrt 3 x = - 2,\]化简得\[18x^2 - 16\sqrt 3 xy - 15 = 0.\]将 $ y = \dfrac{18x^2 - 15}{16\sqrt 3 x} $ 代入 $ c = x - \dfrac{\sqrt 3 }{3}y $，得\[ c = \frac{10x^2 + 5}{16x} > 0. \]所以 $ x > 0 $．因此，点 $ M $ 的轨迹方程是\[ 18x^2 - 16\sqrt 3 xy - 15 = 0\left(x > 0\right). \]