如图，已知抛物线 ${C_1}:{x^2} + by = {b^2}$ 经过椭圆 ${C_2}:\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left(a > b > 0\right)$ 的两个焦点．
【难度】
【出处】
2010年高考江西卷（文）
【标注】
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求椭圆 ${C_2}$ 的离心率；标注答案解析因为抛物线 ${C_1}$ 经过椭圆 ${C_2}$ 的两个焦点 ${F_1}\left( - c,0\right)$，${F_2}\left(c,0\right)$，
所以 ${c^2} + b \times 0 = {b^2}$，即 ${c^2} = {b^2}$，
由 ${a^2} = {b^2} + {c^2} = 2{c^2}$，得椭圆 ${C_2}$ 的离心率 $e = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$． -
设 $Q\left(3,b\right)$，又 $M$，$N$ 为 ${C_1}$ 与 ${C_2}$ 不在 $y$ 轴上的两个交点，若 $\triangle QMN$ 的重心在抛物线 ${C_1}$ 上，求 ${C_1}$ 和 ${C_2}$ 的方程．标注答案解析由（1）可知 ${a^2} = 2{b^2}$，椭圆 ${C_2}$ 的方程为\[\dfrac{{{x^2}}}{{2{b^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\]联立抛物线 ${C_1}$ 的方程 ${x^2} + by = {b^2}$，得\[2{y^2} - by - {b^2} = 0,\]解得\[y = - \dfrac{b}{2} 或 y = b\left(舍去\right),\]所以 $x = \pm \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}b$，即\[M\left( - \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}b, - \dfrac{b}{2}\right),N\left(\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}b, - \dfrac{b}{2}\right),\]所以 $\triangle QMN$ 的重心坐标为 $\left(1,0\right)$．
因为重心在 ${C_1}$ 上，所以 ${1^2} + b \times 0 = {b^2}$，得 $b = 1$，所以 ${a^2} = 2$，
所以，抛物线 ${C_1}$ 的方程为：${x^2} + y = 1$，椭圆 ${C_2}$ 的方程为：$\dfrac{{{x^2}}}{2} + {y^2} = 1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
