由已知有：$a_n^2 = 1 + 24\left(n - 1\right)$，从而 $a_n^{} = \sqrt {1 + 24\left(n - 1\right)} $，
方法一：
取 $n - 1 = {24^{2k - 1}}$，则 $a_n = \sqrt {1 + {{24}^{2k}}} \left(k \in {{\mathbb{N}}^*}\right)$，用反证法证明这些 ${a_n}$ 都是无理数．
假设 $a_n^{} = \sqrt {1 + {{24}^{2k}}} $ 为有理数，则 ${a_n}$ 必为正整数，且 ${a_n} > {24^k}$，故 ${a_n} - {24^k} \geqslant 1$．
${a_n} + {24^k} > 1$，与 $\left({a_n} - {24^k}\right)\left({a_n} + {24^k}\right) = 1$ 矛盾，
所以 $a_n^{} = \sqrt {1 + {{24}^{2k}}} \left(k \in { {\mathbb{ N }}^*} \right)$ 都是无理数，即数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 中有无穷多项为无理数．
方法二：
因为 $a_{n + 1}^2 = 1 + 24n\left(n \in{\mathbb{ N}}\right)$，当 $n$ 的末位数字是 $3,4,8,9$ 时，$1 + 24n$ 的末位数字是 $3$ 和 $7$，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时 ${a_{n + 1}} = \sqrt {1 + 24n} $ 不是有理数，因这种 $n$ 有无穷多，故这种无理项 ${a_{n + 1}}$ 也有无穷多．即数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 中有无穷多项为无理数．

要使 ${a_n}$ 为整数，由 $\left(a_n^{} - 1\right)\left({a_n} + 1\right) = 24\left(n - 1\right)$ 可知：
$a_n - 1$，${a_n} + 1$ 同为偶数，且其中一个必为 $ 3 $ 的倍数，所以有\[{a_n} - 1 = 6m 或 {a_n} + 1 = 6m,\]当 ${a_n} = 6m + 1$ 时，有\[a_n^2 = 36{m^2} + 12m + 1 = 1 + 12m\left(3m + 1\right)\left(m \in {\mathbb{N}}\right),\]又 $m\left(3m + 1\right)$ 必为偶数，所以 ${a_n} = 6m + 1\left(m \in {\mathbb{N}}\right)$ 满足 $a_n^2 = 1 + 24\left(n - 1\right)$，
即 $n = \dfrac{m\left(3m + 1\right)}{2} + 1\left(m \in {\mathbb{N}}\right)$ 时，${a_n}$ 为整数；
同理 ${a_n} = 6m - 1\left(m \in {{\mathbb{N}}^*}\right)$ 时，有\[a_n^2 = 36{m^2} - 12m + 1 = 1 + 12m\left(3m - 1\right)\left(m \in {{\mathbb{N}}^*}\right),\]也满足 $a_n^2 = 1 + 24\left(n - 1\right)$，即 $n = \dfrac{m\left(3m - 1\right)}{2} + 1\left(m \in {{\mathbb{N}}^*}\right)$ 时，${a_n}$ 为整数；
显然 ${a_n} = 6m - 1\left(m \in {{\mathbb{N}}^*}\right)$ 和 ${a_n} = 6m + 1$（$m \in {\mathbb{N}}$）是数列中的不同项；
所以当 $n = \dfrac{m\left(3m + 1\right)}{2} + 1$（$m \in {\mathbb{N}}$）和 $n = \dfrac{m\left(3m - 1\right)}{2} + 1$（$m \in {{\mathbb{N}}^*}$）时，${a_n}$ 为整数；
由 ${a_n} = 6m + 1 < 200\left(m \in {\mathbb{N}} \right)$ 有 $0 \leqslant m \leqslant 33$，
由 ${a_n} = 6m - 1 < 200\left(m \in {{\mathbb{N}}^*}\right)$ 有 $1 \leqslant m \leqslant 33$．
设 ${a_n}$ 中满足 ${a_n} < 200$ 的所有整数项的和为 $S$，则\[\begin{split}S &= \left(5 + 11 + \cdots + 197\right) + \left(1 + 7 + \cdots + 199\right)\\&= \dfrac{5 + 197}{2} \times 33 + \dfrac{1 + 199}{2} \times 34 = 6733.\end{split}\]