题目 已知函数 $f\left(x\right)$ 对任意实数 $x$ 均有 $f\left(x\right) = kf\left(x + 2\right)$，其中常数 $k$ 为负数，且 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[ {0,2} \right]$ 上有表达式 $f\left(x\right) = x\left(x - 2\right)$． 问题1 求 $f\left( - 1\right)$，$f\left(2.5\right)$ 的值； 答案1 $ f\left( - 1\right)=-k$，$ f\left(2.5\right) =-\dfrac3{4k}$． 解析1 由已知得\[ \begin{split}f\left(-1\right)&=kf\left(-1+2\right)=kf\left(1\right)\\&=k\times 1\times\left(1-2\right)=-k,\end{split} \]又因为 $f\left(0.5\right)=kf\left(2.5\right)$，所以\[ \begin{split}f\left(2.5\right)&=\dfrac1kf\left(0.5\right)\\&=\dfrac1k\left(-\dfrac34\right) =-\dfrac3{4k}.\end{split} \] 备注1 问题2 写出 $f\left(x\right)$ 在 $\left[ { - 3,3} \right]$ 上的表达式，并讨论函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left[ { - 3,3} \right]$ 上的单调性； 答案2 \[ \begin{split}f\left(x\right)=\begin{cases}k^2\left(x+2\right)\left(x+4\right),&-3\leqslant x<-2,\\kx\left(x+2\right),&-2\leqslant x<0,\\x\left(x-2\right),&0\leqslant x\leqslant2,\\\dfrac1k\left(x-2\right)\left(x-4\right),&2<x\leqslant3.\end{cases}\end{split} \]$ f\left(x\right)$ 在 $ \left[-3,-2\right)$ 上是增函数，在 $ \left[-2,-1\right]$ 上是增函数，<br/>在 $ \left[-1,0\right)$ 上是减函数，在 $ \left[0,1\right]$ 上是减函数，在 $\left[1,2\right] $ 上是增函数，在 $\left(2,3\right] $ 上是增函数． 解析2 设 $ -2\leqslant x<0$，则 $0\leqslant x+2<2 $，所以\[ \begin{split}f\left(x\right)&=kf\left(x+2\right)=k\left(x+2\right)\left(x+2-2\right)\\&=kx\left(x+2\right) .\end{split} \]设 $-3\leqslant x<-2 $，则 $ -1\leqslant x+2<0$，所以\[ f\left(x\right)=kf\left(x+2\right)=k^2\left(x+2\right)\left(x+4\right).\]设 $ 2<x\leqslant3$，则 $ 0<x-2\leqslant1$，又因为 $f\left(x-2\right)=kf\left(x\right) $，所以\[f\left(x\right)=\dfrac1kf\left(x-2\right)=\dfrac1k\left(x-2\right)\left(x-4\right).\]由此\[ \begin{split}f\left(x\right)=\begin{cases}k^2\left(x+2\right)\left(x+4\right),&-3\leqslant x<-2,\\kx\left(x+2\right),&-2\leqslant x<0,\\x\left(x-2\right),&0\leqslant x\leqslant2,\\\dfrac1k\left(x-2\right)\left(x-4\right),&2<x\leqslant3.\end{cases}\end{split} \]因为 $k<0 $，所以由二次函数知识得 $ f\left(x\right)$ 在 $ \left[-3,-2\right)$ 上是增函数，在 $ \left[-2,-1\right]$ 上是增函数，<br/>在 $ \left[-1,0\right)$ 上是减函数，在 $ \left[0,1\right]$ 上是减函数，在 $\left[1,2\right] $ 上是增函数，在 $\left(2,3\right] $ 上是增函数． 备注2 问题3 求出 $f\left(x\right)$ 在 $\left[ { - 3,3} \right]$ 上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值． 答案3 ① $k < - 1$ 时，而 $f\left(x\right)$ 在 $x = - 3$ 处取得最小值\[f\left( - 3\right) = - {k^2},\]在 $x = - 1$ 处取得最大值\[f\left( - 1\right) = - k;\]② $k = - 1$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $x = - 3$ 与 $x = 1$ 处取得最小值\[f\left( - 3\right) = f\left(1\right) = - 1,\]在 $x = - 1$ 与 $x = 3$ 处取得最大值\[f\left( - 1\right) = f\left(3\right) = 1;\]③ $ - 1 < k < 0$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $x = 1$ 处取得最小值\[f\left(1\right) = - 1.\]在 $x = 3$ 处取得最大值\[f\left(3\right) = - \dfrac{1}{k}.\] 解析3 由函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left[ { - 3,3} \right]$ 上的单调性可知，$f\left(x\right)$ 在 $x = - 3$ 或 $x = 1$ 处取得最小值\[f\left( - 3\right) = - {k^2} 或 f\left(1\right) = - 1,\]而在 $x = - 1$ 或 $x = 3$ 处取得最大值\[f\left( - 1\right) = - k 或 f\left(3\right) = - \dfrac{1}{k}.\]① $k < - 1$ 时，而 $f\left(x\right)$ 在 $x = - 3$ 处取得最小值\[f\left( - 3\right) = - {k^2},\]在 $x = - 1$ 处取得最大值\[f\left( - 1\right) = - k;\]② $k = - 1$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $x = - 3$ 与 $x = 1$ 处取得最小值\[f\left( - 3\right) = f\left(1\right) = - 1,\]在 $x = - 1$ 与 $x = 3$ 处取得最大值\[f\left( - 1\right) = f\left(3\right) = 1;\]③ $ - 1 < k < 0$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $x = 1$ 处取得最小值\[f\left(1\right) = - 1.\]在 $x = 3$ 处取得最大值\[f\left(3\right) = - \dfrac{1}{k}.\] 备注3