题目 已知数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 和 $\left\{ {b_n} \right\}$ 的通项公式分别为 ${a_n} = 3n + 6$，${b_n} = 2n + 7\left(n \in {{\mathbb{N}}^ * }\right)$．将集合 $\left\{ {x\left| {x = {a_n}} \right.,n \in {{\mathbb{N}}^*}} \right\} \cup \left\{ {x\left| {x = {b_n},n \in {{\mathbb{N}}^*}} \right.} \right\}$ 中的元素从小到大依次排列，构成数列 ${c_1} $，$ {c_2}$，${c_3}$，$ \cdots$，${c_n} $，$\cdots$． 问题1 求三个最小的数，使它们既是数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 中的项，又是数列 $\left\{b_n\right\}$ 中的项； 答案1 解析1 设 ${a_m} = {b_n}$，则\[3m + 6 = 2n + 7,\]所以\[n = \dfrac{3m - 1}{2},\]于是 $m$ 是奇数．<br/>当 $m = 1,3,5$ 时，对应 $\left\{ {x\left| {x = {a_n},n \in {{\mathbb{N}}^* }} \right.} \right\} \cup \left\{ {x\left| {x = {b_n},n \in {{\mathbb{N}}^* }} \right.} \right\}$ 中的三个最小的数，<br/>依次为\[{a_1} = 9,{a_3} = 15,{a_5} = 21.\]即三项分别为 $ 9$，$15$，$21$． 备注1 问题2 数列 ${c_1}$，${c_2}$，${c_3}$，$\cdots$，${c_{40}}$ 中有多少项不是数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 中的项？请说明理由； 答案2 解析2 根据题意可知 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 分别是公差为 $3$ 和 $2$ 的等差数列，并且首项相同，都为 $9$；<br/>下面证明：此两个等差数列中的项值再次相同时，$\left\{a_n\right\}$ 为第三项，而 $\left\{ b_n\right\}$ 为第四项．<br/>由上可知，$a_1=b_1$，则又 $a_3=a_1+6$，$b_4=b_1+6$，故 $a_3=b_4$，<br/>在此过程中，数列 $\left\{c_n\right\}$ 的首项是 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 共有的，另外有两项来自于 $\left\{b_n\right\}$，一项来自于 $\left\{a_n\right\}$；且此项介于上两项之间，后面继续重复此过程．<br/>因此，$\left\{c_n\right\}$ 是按上述方式，从 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 中抽取生成的．<br/>所以，数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $40$ 项中，共有 $10$ 项不是数列 $\left\{b_n\right\}$ 中的项． 备注2 问题3 求数列 $\left\{ {c_n} \right\}$ 的前 $4n$ 项和 ${S_{4n}}\left(n \in {{\mathbb{N}}^ * }\right)$． 答案3 解析3 \[\begin{split}{b_{3k - 2}} &= 2\left(3k - 2\right) + 7 \\&= 6k + 3 \\&= {a_{2k - 1}} , \\ {b_{3k - 1}} &= 6k + 5, \\ {a_{2k}} &= 6k + 6, \\<br/>{b_{3k}} &= 6k + 7,\end{split}\]因为\[6k + 3 < 6k + 5 < 6k + 6 < 6k + 7,\]所以\[{c_n} = \begin{cases}{6k + 3,}&{\left(n = 4k - 3\right)},\\<br/>{6k + 5,}&{\left(n = 4k - 2\right)},\\<br/>{6k + 6,}&{\left(n = 4k - 1\right)},\\<br/>{6k + 7,}&{\left(n = 4k\right)},\\<br/>\end{cases} k \in {{\mathbb{N}}^* }.\]所以 ${c_{4k - 3}} + {c_{4k - 2}} + {c_{4k - 1}} + {c_{4k}} = 24k + 21$，\[\begin{split}{S_{4n}} & = \left({c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\right) + \cdots + \left({c_{4n - 3}} + {c_{4n - 2}} + {c_{4n - 1}} + {c_{4n}}\right) \\&<br/>= 24 \times \dfrac{n\left(n + 1\right)}{2} + 21n \\&= 12{n^2} + 33n. \end{split} \] 备注3