成等差数列的三个正数的和等于 $ 15 $，并且这三个数分别加上 $ 2$，$5$，$13 $ 后成为等比数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 中的 ${b_3}$，${b_4}$，${b_5}$．
【难度】
【出处】
2011年高考湖北卷（文）
【标注】
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求数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 的通项公式；标注答案解析设成等差数列的三个正数分别为 $a - d$，$a$，$a + d$．
依题意，得\[a - d + a + a + d = 15,\]解得\[a = 5.\]所以 $\left\{ {b_n} \right\}$ 中的 ${b_3}$，${b_4}$，${b_5}$ 依次为 $7 - d$，$10$，$18 + d$．
依题意，有\[\left( {7 - d} \right)\left( {18 + d} \right) = 100,\]解得\[d = 2 或 d = - 13 \left(舍去\right).\]故 $\left\{ {b_n} \right\}$ 的第 $3$ 项为 $ 5 $，公比为 $ 2 $．
由 ${b_3} = {b_1} \cdot {2^2}$，即 $5 = {b_1} \cdot {2^2}$，解得 ${b_1} = \dfrac{5}{4}$，所以\[{b_n} = \frac{5}{4} \cdot {2^{n - 1}} = 5 \cdot {2^{n - 3}}.\] -
数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，求证：数列 $\left\{ {{S_n} + \dfrac{5}{4}} \right\}$ 是等比数列．标注答案解析数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和\[\begin{split}{S_n} &= \dfrac{{\dfrac{5}{4}\left( {1 - {2^n}} \right)}}{1 - 2} \\&= 5 \cdot {2^{n - 2}} - \dfrac{5}{4},\end{split}\]所以\[{S_n} + \frac{5}{4} = 5 \cdot {2^{n - 2}},\]所以\[\begin{split}{S_1} + \frac{5}{4} &= \frac{5}{2},\\
\dfrac{{{S_{n + 1}} + \dfrac{5}{4}}}{{{S_n} + \dfrac{5}{4}}} &= \frac{{5 \cdot {2^{n - 1}}}}{{5 \cdot {2^{n - 2}}}} = 2,\end{split}\]因此 $\left\{ {{S_n} + \dfrac{5}{4}} \right\}$ 是以 $\dfrac{5}{2}$ 为首项，公比为 $ 2 $ 的等比数列．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
