甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 $1$ 分，负者得 $0$ 分，比赛进行到有一人比对方多 $2$ 分或打满 $6$ 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 $\dfrac23$，乙在每局中获胜的概率为 $\dfrac13$，且每局胜负互相独立，则比赛停止时已打局数 $\xi$ 的数学期望 $E(\xi)$ 为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
依题意，$\xi$ 的所有可能值为 $2,4,6$，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为\[\left(\dfrac23\right)^2+\left(\dfrac13\right)^2=\dfrac59,\]若该轮结束时比赛还犟继续，则甲乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有\[\begin{split}&P(\xi=2)=\dfrac59,\\&P(\xi=4)=\left(\dfrac49\right)\left(\dfrac59\right)=\dfrac{20}{81},\\&P(\xi=6)=\left(\dfrac49\right)^2=\dfrac{16}{81},\end{split}\]故\[E(\xi)=2\cdot\dfrac59+4\cdot\dfrac{20}{81}+6\cdot\dfrac{16}{81}=\dfrac{266}{81}.\]
题目
答案
解析
备注
