由 $ f\left(x\right) = \sin x - \cos x + x + 1,0 < x < 2{\mathrm \pi } $，知\[ f'\left(x\right) = 1 + \sqrt 2 \sin \left(x + \dfrac{\mathrm \pi }{4}\right). \]令 $ f'\left(x\right) = 0 $，从而\[ \sin \left(x + \dfrac{{\mathrm \pi } }{4}\right) = -\dfrac{\sqrt 2 }{2} ,\]得\[ x = {\mathrm \pi } 或 x = \dfrac{{3{\mathrm \pi } }}{2}, \]当 $ x $ 变化时，$ f'\left(x\right) $，$ f\left(x\right) $ 变化情况如下表\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
x&\left(0,{\mathrm \pi }\right)&{\mathrm \pi }&\left({\mathrm \pi },\dfrac32{\mathrm \pi }\right)&\dfrac32\mathrm \pi&\left(\dfrac32{\mathrm \pi },2{\mathrm \pi }\right)\\ \hline
f'\left(x\right)&+&0&-&0&+\\ \hline
f\left(x\right)&\nearrow&{\mathrm \pi }+2&\searrow&\dfrac32{\mathrm \pi }&\nearrow\\ \hline
\end{array}\]因此，由上表知 $ f\left(x\right) $ 的单调递增区间是 $ \left(0,{\mathrm \pi } \right) $ 与 $ \left(\dfrac{{3{\mathrm \pi } }}{2},2{\mathrm \pi }\right) $，单调递减区间是 $ \left({\mathrm \pi } ,\dfrac{{3{\mathrm \pi }}}{2}\right) $，
极小值为 $ f\left(\dfrac{{3{\mathrm \pi }}}{2}\right) = \dfrac{{3{\mathrm \pi } }}{2}$，极大值为 $ f\left({\mathrm \pi }\right) = \mathrm \pi + 2$．