设动点 $P$ 的坐标为 $\left( {x,y} \right),$ 由题意有\[\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} - \left| x \right| = 1. \]化简得\[{y^2} = 2x + 2\left| x \right|, \]当 $x \geqslant 0$ 时，\[{y^2} = 4x;\]当 $x < 0$ 时，\[y = 0. \]所以动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程为：\[{y^2} = 4x\left( {x \geqslant 0} \right) 和 y = 0\left( {x < 0} \right).\]

由题意知，直线 ${l_1}$ 的斜率存在且不为 $0$，设为 $k$，则 ${l_1}$ 的方程为\[y = k\left(x - 1\right).\]由\[\begin{cases}
y = k\left( {x - 1} \right) ,\\
{y^2} = 4x, \\
\end{cases}\]得\[{k^2}{x^2} - \left( {2{k^2} + 4} \right)x + {k^2} = 0.\]设 $A\left( {{x_1},{y_1}} \right),B\left( {{x_2},{y_2}} \right),$ 则 ${x_1},{x_2}$ 是上述方程的两个实根，于是\[{x_1} + {x_2} = 2 + \dfrac{4}{k^2},{x_1}{x_2} = 1.\]因为 ${l_1} \perp {l_2},$ 所以 ${l_2}$ 的斜率为 $ - \dfrac{1}{k}.\\ $
设 $D\left( {{x_3},{y_3}} \right),E\left( {{x_4},{y_4}} \right),\\ $ 则同理可得\[{x_3} + {x_4} = 2 + 4{k^2},{x_3}{x_4} = 1 ,\]所以\[\begin{split}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {EB} &= \left( {\overrightarrow {AF} + \overrightarrow {FD} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FB} } \right) \\ &= \overrightarrow {AF} \cdot \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {AF} \cdot \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FD} \cdot \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FD} \cdot \overrightarrow {FB} \\ &= \left| {\overrightarrow {AF} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {FB} } \right| + \left| {\overrightarrow {FD} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {EF} } \right| \\ &= \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) + \left( {{x_3} + 1} \right)\left( {{x_4} + 1} \right) \\ &= 1 + \left( {2 + \dfrac{4}{k^2}} \right) + 1 + 1 + \left( {2 + 4{k^2}} \right) + 1 \\ &= 8 + 4\left( {{k^2} + \dfrac{1}{k^2}} \right) \\ &\geqslant 8 + 4 \times 2\sqrt {{k^2} \cdot \dfrac{1}{k^2}} \\&= 16.\end{split}\]当且仅当 ${k^2} = \dfrac{1}{k^2}$，即 $k = \pm 1$ 时，$\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {EB} $ 取最小值 $16$．