已知过抛物线 ${y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)$ 的焦点，斜率为 $2\sqrt 2 $ 的直线交抛物线于 $A\left( {{x_1},{y_2}} \right) $，$B\left( {{x_2},{y_2}} \right)$（${x_1} < {x_2}$）两点，且 $\left| {AB} \right| = 9$．
【难度】
【出处】
2011年高考江西卷（文）
【标注】
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求该抛物线的方程；标注答案解析直线 $ AB $ 的方程是\[ y = 2\sqrt 2 \left(x - \dfrac{p}{2}\right),\]与 $ y^2= 2{ {px}} $ 联立，从而有\[4{{{x}}^2} - 5px + {p^2} = 0, \]所以\[{x_1} + {x_2} = \dfrac{{5p}}{4} ,\]由抛物线定义得\[\left| {AB} \right| = {x_1} + {x_2} + p = 9 ,\]所以 $ p=4 $，抛物线方程为 ${y^2} = 8x$．
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$O$ 为坐标原点，$C$ 为抛物线上一点，若 $\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \lambda \overrightarrow {OB} $，求 $\lambda $ 的值．标注答案解析由\[p=4,4 x^2 -5px+p^2=0,\]化简得\[{x^2} - 5x + 4 = 0 ,\]从而\[{x_1} = 1,{x_2} = 4,{y_1} = - 2\sqrt 2 ,{y_2} = 4\sqrt 2 ,\]从而\[A\left(1, - 2\sqrt 2 \right),B\left(4, 4\sqrt 2 \right) \]设\[ \begin{split}\overrightarrow {OC} & = \left({x_{3,}}{y_3}\right) \\& = \left(1, - 2\sqrt 2 \right) + \lambda \left(4,4\sqrt 2 \right) \\& = \left(1 + 4\lambda , - 2\sqrt 2 + 4\sqrt 2 \lambda \right) ,\end{split}\]又 ${y_3}^2 = 8{x_3}$，即\[ {\left[ {2\sqrt 2 \left( {2\lambda - 1} \right)} \right]^2} = 8\left(4 \lambda + 1 \right),\]即\[ {\left(2\lambda - 1\right)^2} = 4\lambda + 1 ,\]解得\[\lambda = 0 或 \lambda = 2 .\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
