由 ${b_n} = \dfrac{{3 + {{\left( - 1\right)}^{n - 1}}}}{2}$，$n \in {{\mathbb{N}}^*}$，可得\[{b_n} = {\begin{cases}
2,n为奇数, \\
1,n为偶数, \\
\end{cases}}\]又 ${b_{n + 1}}{a_n} + {b_n}{a_{n + 1}} = {\left( { - 2} \right)^n} + 1$，所以
当 $n = 1$ 时，${a_1} + 2{a_2} = - 1$，由 ${a_1} = 2$，可得 ${a_2} = - \dfrac{3}{2}$；
当 $n = 2$ 时，$2{a_2} + {a_3} = 5$，可得 ${a_3} = 8$．

对任意 $n \in {{\mathbb{N}}^*}$，都满足\[\begin{split}{a_{2n - 1}} + 2{a_{2n}} &= - {2^{2n - 1}} + 1, &\quad \cdots \cdots ① \\ 2{a_{2n}} + {a_{2n + 1}} &= {2^{2n}} + 1,& \quad \cdots \cdots ② \end{split}\]$ ② - ① $，得\[{a_{2n + 1}} - {a_{2n - 1}} = 3 \times {2^{2n - 1}},\]即\[{c_n} = 3 \times {2^{2n - 1}},\]于是\[\dfrac{{{c_{n + 1}}}}{c_n} = 4,\]所以 $\left\{ {c_n}\right\} $ 是等比数列．

${a_1} = 2$，由（2）知，当 $k \in {{\mathbb{N}}^*}$ 且 $k \geqslant 2$ 时，\[\begin{split}{a_{2k - 1}} &= {a_1} + \left({a_3} - {a_1}\right) + \left({a_5} - {a_3}\right) + \left({a_7} - {a_5}\right) + \cdots + \left({a_{2k - 1}} - {a_{2k - 3}}\right)\\&= 2 + 3\left(2 + {2^3} + {2^5} + \cdots + {2^{2k - 3}}\right) \\&= 2 + 3 \times \dfrac{{2\left(1 - {4^{k - 1}}\right)}}{1 - 4} = {2^{2k - 1}},\end{split}\]故对任意 $k \in {{\mathbb{N}}^*}$，${a_{2k - 1}} = {2^{2k - 1}}$．
由 $ ① $ 得\[2{ ^{2k - 1}} + 2{a_{2k}} = - {2^{2k - 1}} + 1,\]所以\[{a_{2k}} = \dfrac{1}{2} - {2^{2k - 1}},k \in {{\mathbb{N}}^*},\]因此\[{S_{2k}} = \left({a_1} + {a_2}\right) + \left({a_3} + {a_4}\right) + \cdots + \left({a_{2k - 1}} + {a_{2k}}\right) = \dfrac{k}{2}.\]于是\[{S_{2k- 1}} = {S_{2k}} - {a_{2k}} = \dfrac{k - 1}{2} + {2^{2k - 1}}.\]故\[\begin{split}\dfrac{{{S_{2k - 1}}}}{{{a_{2k - 1}}}} + \dfrac{{{S_{2k}}}}{{{a_{2k}}}} &= \dfrac{{\dfrac{k - 1}{2} + {2^{2k - 1}}}}{{{2^{2k - 1}}}} + \dfrac{{\dfrac{k}{2}}}{{\dfrac{1}{2} - {2^{2k - 1}}}}\\& = \dfrac{{k - 1 + {2^{2k}}}}{{{2^{2k}}}} - \dfrac{k}{{{2^{2k}} - 1}} \\&= 1 - \dfrac{1}{4^k} - \dfrac{k}{{{4^k}\left({4^k} - 1\right)}}.\end{split}\]所以，对任意 $n \in {\mathbb{N}}^*$，\[\begin{split}&\dfrac{S_1}{a_1}+\dfrac{S_2}{a_2}+\cdots+\dfrac{S_{2n-1}}{a_{2n-1}}+\dfrac{S_{2n}}{a_{2n}}\\ =&\left(\dfrac{S_1}{a_1}+\dfrac{S_2}{a_2}\right)+\left(\dfrac{S_3}{a_3}+\dfrac{S_4}{a_4}\right)+\cdots+\left(\dfrac{S_{2n-1}}{a_{2n-1}}+\dfrac{S_{2n}}{a_{2n}}\right)\\ =&\left(1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{12}\right)+\left[1-\dfrac{1}{4^2}-\dfrac{2}{4^2\left(4^2-1\right)}\right]+\cdots+\left[1-\dfrac{1}{4^n}-\dfrac{n}{4^n\left(4^n-1\right)}\right]\\ =&n-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}\right)-\left[\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{2}{4^2\left(4^2-1\right)}\right]-\cdots-\left[\dfrac{1}{4^n}+\dfrac{n}{4^n\left(4^n-1\right)}\right]\\ \leqslant &n-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}\right)=n-\dfrac{1}{3}.\end{split}\]