己知椭圆 $x^2+2y^2=1$，过原点的两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 分别与椭圆交于点 $A$，$B$ 和 $C$，$D$．记 $\triangle AOC$ 的面积为 $S$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
设 $A\left(x_1,y_1\right)$，$C\left(x_2,y_2\right)$．用 $A$，$C$ 的坐标表示点 $C$ 到直线 $l_1$ 的距离，并证明 $S=\dfrac12 {\left|{x_1y_2-x_2y_1}\right|}$；标注答案解析直线 $l_1:y_1x-x_1y=0$，点 $C$ 到 $l_1$ 的距离 $d=\dfrac{|y_1x_2-x_1y_2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}$．
因为 $|OA|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$，所以 $S=\dfrac12{\left|{OA}\right|}\cdot d=\dfrac12{\left|{x_1y_2-x_2y_1}\right|}$． -
设 $l_1:y=kx$，$C\left(\dfrac{\sqrt3}{3},\dfrac{\sqrt3}{3}\right)$，$S=\dfrac13$，求 $k$ 的值．标注答案解析由 $\begin{cases}
y=kx,\\x^2+2y^2=1.
\end{cases}$ 得 $x_1^2=\dfrac{1}{1+2k^2}$．
由（1）得\[\begin{split}S&=\dfrac{1}{2}{\left|{x_1y_2-x_2y_1}\right|}\\&=\dfrac12{\left|{\dfrac{\sqrt3}{3}x_1-\dfrac{\sqrt3}{3}\cdot kx_1}\right|}\\&=\dfrac{\sqrt3{\left|{k-1}\right|}}{6\sqrt{1+2k^2}} .\end{split}\]由题意，得 $\dfrac{\sqrt3{\left|{k-1}\right|}}{6\sqrt{1+2k^2}}=\dfrac13$，解得 $k=-\dfrac15 或 -1$． -
设 $l_1$ 与 $l_2$ 的斜率之积为 $m$，求 $m$ 的值，使得无论 $l_1$ 与 $l_2$ 如何变动，面积 $S$ 保持不变．标注答案解析设 $l_1:y=kx$，则 $l_2:y=\dfrac mkx$，
设 $A\left(x_1,y_1\right)$，$C\left(x_2,y_2\right)$．
由 $\begin{cases}
y=kx,\\ x^2+2y^2=1,
\end{cases}$ 得\[x_1^2=\dfrac{1}{1+2k^2},\]同理\[x_2^2=\dfrac{1}{1+2\left(\dfrac mk\right)^2}=\dfrac{k^2}{k^2+2m^2} .\]由（1），得\[\begin{split}S&=\dfrac12 \left|x_1y_2-x_2y_1 \right|\\&=\dfrac12 \left|\dfrac{x_1\cdot mx_2}{k}-x_2\cdot kx_1 \right|
\\&=\dfrac12\cdot\dfrac{ \left|k^2-m \right|}{ \left|k \right|}\cdot \left|x_1x_2 \right|
\\&=\dfrac{ \left|k^2-m \right|}{2\sqrt{1+2k^2}\cdot\sqrt{k^2+2m^2}} .\end{split}\]整理得\[\left(8S^2-1\right)k^4+\left(4S^2+16S^2m^2+2m\right)k^2+\left(8S^2-1\right)m^2=0 .\]由题意知，$S$ 与 $k$ 无关，则\[\begin{cases}8S^2-1=0,\\4S^2+16S^2m^2+2m=0,
\end{cases}\]得\[\begin{cases}S^2=\dfrac18,\\m=-\dfrac12.
\end{cases}\]所以 $m=-\dfrac12$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
